- •Введение.
- •Основные факты планиметрии.
- •I. Треугольники
- •1) Теорема синусов.
- •2) Теорема косинусов.
- •3) Теорема о биссектрисе угла в треугольнике.
- •4) Вычисление биссектрисы угла.
- •5 ) Вычисление координаты точки отрезка.
- •4 ) Теорема об отрезках пересекающихся хорд.
- •Вариант 1.
- •Вариант 2.
- •Вариант 4.
- •Вариант 5.
- •Вариант 6.
- •Вариант 7.
- •Вариант 8.
- •Вариант 9.
- •Вариант 10.
- •Вариант 11.
- •Вариант 12.
- •Вариант 13.
- •Вариант 14.
- •Вариант 15
- •Вариант 16.
- •Вариант 17.
- •Вариант 18.
- •Вариант 19.
- •Вариант 20.
4 ) Теорема об отрезках пересекающихся хорд.
С
А
B
D
5 )
l
l – касательная, r – радиус
l r и наоборот.
6) В
А
АВ = ВС, АВ и ВС - касательные
С
7) В
А
L
, где АВ - касательная
С
8) С
В
А ВС – касательная, СВА = ВА
9)
A B CFD=
C
D
1 0) D
A B
D =
C K
Вариант 1.
№13.
В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении 17:15, боковая сторона треугольника равна 34 см. Найдите основание треугольника.
Д ано: , окр.(О;r), см,
Найти:
Решение.
Т.к. О – центр вписанной окружности, тогда АО – биссектриса. По свойству биссектрисы угла треугольника, см
Ответ: см
№14.
В трапеции ABCD (AD║BC, AD>BC) на диагонали АС взята точка Е, такая, что BE║CD. Докажите, что площади треугольников ABC и DEC равны.
Д ано: ABCD – трапеция, , .
Доказать:
Доказательство.
ABCL – трапеция, тогда
( высоты равны т.к. заключены между двумя параллельными прямыми, ВС – общее основание), значит,
BCDL – параллелограмм, тогда (высоты равны, как перпендикуляры, заключенные между параллельными прямыми, ), тогда получим , ч.т.д.
№15.
Окружность, касающаяся гипотенузы прямоугольного треугольника и продолжений его катетов, имеет радиус R. Найдите периметр треугольника.
Д ано: - прямоугольный, окр.(О;R) касается гипотенузы и продолжений катетов в точках K, N, M,
Найти:
Решение.
KOMC – квадрат, т.к.
-прямоугольник, но OK=OM=R.
KA=AN, NB=BM как отрезки касательных, проведенных из одной точки, тогда
Ответ:
Вариант 2.
№13.
Три окружности с радиусами 1 см, 2 см и 3 см попарно касаются друг друга. Найдите длину окружности, проходящей через центры данных окружностей.
Д ано: Окр(A;2), Окр(B;1), Окр(C;3), E, F, D – точки касания, Окр (О;ОА),
Найти:
Решение.
Известно, что точка касания двух окружностей лежит на прямой, соединяющей их центры, тогда
В , , .
, тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, -
прямоугольный центр искомой окружности лежит на середине гипотенузы AC и
. Тогда
Ответ:
№14.
Найдите площадь трапеции, основания которой 16 см и 28 см, а диагонали 17 см и 39 см.
Д ано: ABCD – трапеция, см, см, см, см
Найти:
Решение.
Дополнительное построение: .
Пусть , тогда .
Рассмотрим прямоугольный
- по теореме Пифагора
Рассмотрим прямоугольный
по теореме Пифагора
см2
Ответ: см2
№15.
Даны две точки А и В на плоскости. Укажите геометрическое место точек М этой плоскости, для которых А, В и М – вершины равнобедренного треугольника.
Дано:
Н айти: ГМТ точки М, где А, В и М – вершины равнобедренного треугольника.
М
Решение.
1) Если в искомом треугольнике , то , где - серединный перпендикуляр, т.к. все точки, равноудаленные от концов отрезка, лежат на серединных перпендикулярах.
2) Если в искомом треугольнике , то
3) Если в искомом треугольнике , то
Вариант 3.
№13.
Через вершину В равнобедренного треугольника АВС параллельно основанию АС проведена прямая BD. Через точку К – середину высоты ВН проведен луч АК, пересекающий прямую BD в точке D, а сторону ВС в точке N. Определите, в каком отношении точка N делит сторону ВС.
Д ано: - равнобедренный, , , , .
Найти:
Решение.
( , , )
Пусть ,
( , )
Ответ:
№14.
Найдите площадь трапеции, основания которой 6 см и 26 см, а боковые стороны 12 см и 16 см.
Д ано: ABCD – трапеция, см, см, см, см.
Найти:
Решение.
Дополнительное построение: достроим трапецию до параллелограмма .
:
По формуле Герона
Ответ: см2
II способ
Дополнительное построение , тогда . По формуле Герона , с другой стороны .
Ответ: см2
№15.
Дана трапеция, в которую можно вписать окружность. Докажите, что окружности, построенные на ее боковых сторонах как на диаметрах, касаются друг друга.
Д ано: ABCD – трапеция, Окр. (О; R`) – вписанная, Окр(О1;r), Окр(О2;R),
Доказать: Окр(О1;r) и Окр(О2;R) касаются
Доказательство.
Пусть N, K, M, L – точки касания вписанной в трапецию окружности со сторонами трапеции, тогда (по свойству отрезков касательных)
- средняя линяя трапеции и . Очевидно, что общая точка единственна.
Итак, Q – тоска касания, ч.т.д.