- •Введение.
- •Основные факты планиметрии.
- •I. Треугольники
- •1) Теорема синусов.
- •2) Теорема косинусов.
- •3) Теорема о биссектрисе угла в треугольнике.
- •4) Вычисление биссектрисы угла.
- •5 ) Вычисление координаты точки отрезка.
- •4 ) Теорема об отрезках пересекающихся хорд.
- •Вариант 1.
- •Вариант 2.
- •Вариант 4.
- •Вариант 5.
- •Вариант 6.
- •Вариант 7.
- •Вариант 8.
- •Вариант 9.
- •Вариант 10.
- •Вариант 11.
- •Вариант 12.
- •Вариант 13.
- •Вариант 14.
- •Вариант 15
- •Вариант 16.
- •Вариант 17.
- •Вариант 18.
- •Вариант 19.
- •Вариант 20.
Вариант 19.
№ 13.
Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 16 см и боковой стороной 10 см.
Дано: ABC, AC = AB = 10, BC = 16
Найти: r
Решение.
S =
r =
Ответ:
№ 14.
В треугольнике со сторонами 4 см, 5 см и 8 см найдите длину медианы, проведённой из вершины большего угла.
Д ано: ABC, AC = 4, AB = 5, BC = 8
Найти: длину медианы, проведённой из вершины большего угла.
Решение.
Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона, поэтому медиана проведена к стороне BC = 8.
m2 = m = = .
Ответ:
№ 15.
Докажите, что в выпуклом четырёхугольнике середина отрезка, соединяющего середины его диагоналей, совпадает с точкой пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.
Д ано: ABCD – выпуклый четырёхугольник, ВE =DE, AF=CF, EG1= =FG1, AK=KB, BL=LC, CM=MD, AN=ND, KMLN = G2
Доказать: G1 G2
Доказательство.
Введём произвольную систему координат. Пусть координаты точек A, B, C, D равны соответственно (a1; a2), (b1; b2), (c1; c2), (d1; d2). Тогда координаты точек E, F, K, L, M, N как середин отрезков равны соответственно ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ). Так как G1 – середина EF, то её координаты равны ( ; ). Заметим, что точка G1 является также серединой отрезков KM и LN, поскольку её координаты являются координатами середин этих отрезков, значит, точка G1 лежит одновременно на отрезках KM и LN, то есть KMLN = G1. Но по условию KMLN = G2 G1 G2, ч.т.д.
Вариант 20.
№ 13.
Б иссектриса CD прямого угла треугольника ABC делит гипотенузу на отрезки 15 см и 20 см. Найдите катеты треугольника.
Дано: ABC, C = 90, CD – биссектриса ABC, AD = 15, DB = 20
Найти: AC, BC
Решение.
По свойству биссектрисы угла треугольника: AC = BC. По теореме Пифагора AC2 + BC2 = AB2 = (AD +DB)2 = 352 ( BC)2 + BC2 = 352 BC2 + +BC2 = 352 BC2 = 352 BC = 35 BC = = 28 AC = = 21.
Ответ: AC = 21, BC = 28.
№ 14.
Медиана треугольника в полтора раза больше стороны, к которой она проведена. Найдите угол между двумя другими медианами.
Д ано: ABC, AA1, BB1, CC1 – медианы ABC, O – точка пересечения медиан, AA1 = 1,5BC
Найти: BOC
Решение.
Поскольку O – точка пересечения медиан, AA1 – медиана, то AA1 = 3OA1. Так как A1 – середина BC, то BA1 = A1C = 0,5BC. AA1 = 1,5BC 3OA1 = 1,5BC OA1 = 0,5BC = BA1 = =A1C треугольники OBA1 и OCA1 – равнобедренные OBC = BOA1, A1OC = BCO, а так как OBC + BOA1 + A1OC + BCO = 180, то 2BOA1 + 2A1OC = 180 BOC = 90.
Ответ: BOC = 90.
Учебное пособие составлено на основе решений учащихся МОУ лицей №1 г.Комсомольска – на – Амуре Замана К. и Мельниченко А. под руководством
Будлянской Н.Л., учителя математики высшей категории.
Решебник к сборнику заданий А.Д.Блинкова, Т.М.Мищенко
для проведения экзамена по геометрии
в 9 классе
(задания второй части итоговой аттестационной работы).
Сдано в печать 13.11.2008
Подписано к печати 15.11.2008
Печать офсетная. Бумага офсетная.
Формат 60 x 84 1/16.
Усл.п.л. 3,3. Уч.-изд. л. 4,1
Тираж 200 экз.
Отпечатано в ЗАО «Аквилон»
681010, г.Комсомольск-на-Амуре
Ул. Парижской Коммуны, 36/2, тел.:(4217)53-43-11