5.4.2 Метод пространства состояний

Переменное состояние называют минимальную совокупность величин, которые совместно с входным процессом однозначно определяют выходной сигнал.

Вектор состояний

.

Рассмотрим методику перехода от скалярного дифференциального уравнения -порядка к системе дифференциальных уравнений первого порядка или матричному дифференциальному уравнению.

,

где

Рассмотрим более общий случай дифференциального уравнения

.

Введём ,

.

Подставив уравнение в исходное уравнение получим:

.

Представив уравнение во временной плоскости, получим:

.

Сделав замену переменных как в предыдущем случае, получим следующее матричное уравнение:

.

Исходя из выражения , выходной сигнал определяется выражением:

.

5.4.3 Решение матричного дифференциального уравнения

Рассмотрим однородное матричное дифференциальное уравнение . Будем искать решение в виде ,

где - вектор начального состояния системы.

Подставив выражение в исходное уравнение, получим:

.

Разложим матричную экспоненту в виде:

, продифференцировав матричную экспоненту и вынеся матрицу , получим:

.

Равенство выполняется, когда левая и правая части равны, из этого следует, что уравнение является решением однородного матричного уравнения.

Обозначают - переходная матрица.

Тогда матричное уравнение можно представить в виде .

Перейдём от оригиналов к изображениям, тогда получим:

Полное решение матричного уравнения имеет следующий вид:

.

5.4.4 Методика анализа линейных система методом пространства состояний

1. Найдём передаточную функцию разомкнутой системы

.

2. Найдём передаточную функцию замкнутой системы

.

3. Запишем скалярное дифференциальное уравнение

4. Составим матричное дифференциальное уравнение ,

где

5. Найдём переходную матрицу

6. Найдём вектор состояний

.

7. Найдём выходной сигнал

.

Пример №1. определить выходной сигнал замкнутой системы, структурная схема, которой приведена ниже при единичном входном воздействии и нулевых начальных условиях .

1. .

2. .

3. .

4.

5.

6. .

7.

Тема 6. Анализ точности линейных непрерывных стационарных систем при случайных воздействиях

Пусть задана корреляционная функция входного сигнала и импульсная характеристика линейной системы

.

6.4 Определение дисперсии ошибки после окончания переходного процесса

Пусть задана система, структурная схема которой приведена ниже

Введём понятие передаточной функции по ошибке на воздействие и обозначим её и передаточную для воздействия и обозначим её .

Из структурной схемы видно, что , решив это уравнение относительно , получим:

.

Найдём ошибку .

Для линейных систем применим принцип суперпозиций:

полога, что , получим ;

пологая, что , получим .

Зная энергетические спектры воздействий и передаточные функции по ошибке, можно определить дисперсию ошибок:

Для упрощения вычисления, представим дисперсию ошибок в виде:

,

где - полином чётных степеней

-.

Зная значения и , можно записать:

.