4.3.1 Методика анализа устойчивости по критерию Михайлова

1. Найдём передаточную функцию разомкнутой цепи

.

2. Найдём передаточную функцию замкнутой цепи

.

3. Представим характеристический полином в виде реальной и мнимой части

.

4. Найдём критические частоты из условия .

5. Проверить чередование знаков реальной части .

6. Найдём частоты , при которых годограф пересекает мнимую часть .

7. Проверить чередование знаков пересечения годографа с мнимой осью

.

4.3.2 Методика определения критических частот и критического коэффициента усиления

Пункты 1 – 4 повторить.

5. Определить критический коэффициент усиления из условия

.

Пример №1. исследовать устойчивость по Михайлову и определить критический коэффициент усиления и критические частоты для замкнутой системы АПЧ, структурная схема которой имеет вид:

1. .

2. ;

,

3.

4. Найдём критические частоты

5. Проверим чередование знаков на реальной части на критических частотах

6. Найдём частоты, при которых годограф пересекает мнимую ось из условия

.

7. .

8. Найдём критический коэффициент усиления

9. Исследуем влияние параметров на устойчивость системы

,

разделив обе части получим:

, если , то устойчивость

Если , то .

4.4 Критерий устойчивости Найквиста

Этот критерий получил наибольшее распространение благодаря следующим его достоинствам:

- наглядность результатов (хорошая их физическая интерпретация);

- простота вычислений;

- возможность получения недостающих результатов экспериментальным путём.

,

где - характеристический полином разомкнутой системы.

Для систем радиоавтоматики степень полинома меньше чем , то есть .

Если , то и имеют одинаковые степени.

Для доказательства критерия устойчивости по Найквисту рассмотрим вектор .

Частные случаи:

1. пусть в разомкнутом состоянии система устойчива

.

Потребуем, чтобы замкнутая система была тоже устойчива

Если в разомкнутом состоянии система устойчива, то для её устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы годограф охватывал начало координат.

2. Пусть разомкнутая система не устойчива и её характеристический полином содержит - корней в правой полуплоскости

. Потребуем чтобы в замкнутом состоянии система была устойчива

.

В этом случае, для устойчивости системы необходимо, годограф разомкнутой системы охватывал начало координат .

Полученное условие устойчивости можно распространить на плоскость путём сдвига годографа влево на 1. При этом точка 0 будет соответствовать точке -1, а точка 1 – точке 0.

Первое определение. Если в разомкнутом состоянии система устойчива, то для её устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы при изменении частота от 0 до годограф вектора не охватывал особую точку .

Первый годограф соответствует трём последо- вательно соединенным инерционным звеньям.

Второй годограф соответствует интегрирующему и двум инерционным звеньям.

Третий годограф соответствует двум интегри- рующим звеньям, инерционному и форсирующему звеньям.

Второе определение. Если в разомкнутом состоянии система неустойчива и её характеристический полином содержит - корней в правой полуплоскости,

то для её устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до годограф вектора охватывал особую точку раз.

Третье определение. Для устойчивости любой системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до разность между числом перехода годографа реальной оси на участке сверху вниз и снизу вверх было равно раз.

Если годограф разомкнутой системы проходит через точку , то система находится на границе устойчивости.

Критической будем называть частоту, при которой приращение аргумента или .

Частотой среза будем называть частоту, при которой .

Запас устойчивости по амплитуде (усиления) определяется на критической частоте .

Запас устойчивости по фазе определяется на частоте среза .