1. Непараметрические (свободные от распределения) критерии однородности статистических данных

Методы статистической обработки и анализа результатов наблюдений, закон распределения вероятностей появления которых неизвестен, объединены единым направлением математической статистики, получившим название непараметрическая статистика. Ее приемы и методы, известные еще как методы, свободные от распределения, интенсивно развиваются в последние годы.

Любое распределение можно описать параметром положения, характеризующим центр группирования случайных величин, и параметром масштаба, характеризующим степень рассеяния случайных величин относительно центра группирования (например, в случае нормального распределения ими являются соответственно среднее μ и стандартное отклонение σ).

Когда закон распределения неизвестен, гипотезы о параметрах положения и масштаба проверяются с помощью специальных критериев сдвига и масштаба.

Если и - неизвестные плотности вероятностей, то гипотеза сдвига записывается как против альтернативы , или против альтернативы , где – сдвиг, определяемый разностью параметров положения распределений.

Гипотезы о разнице в дисперсиях (при неизвестных распределениях) формулируются как гипотезы о параметрах масштаба.

Например, если

и ,

то гипотеза о параметре масштаба записывается как против альтернативы .

Достоинством непараметрических (свободных от распределения) методов проверки статистических гипотез является их расчетная простота. Однако мощность статистических критериев, построенных на их основе, уступает аналогичным параметрическим критериям (например, критериям Стьюдента, Фишера и т. п.). Легко догадаться, что это плата за незнание вида распределения случайных величин.

Рекомендуется следующий порядок использования непараметрических критериев. Если распределение случайной величины неизвестно, то непараметрические критерии являются единственно возможными критериями для проверки различных статистических гипотез. Если распределение известно, то рекомендуется сначала применить простые в вычислительном отношении непараметрические критерии. При отклонении ими проверяемой гипотезы дальнейшее уточнение не требуется. Если непараметрический критерий не отклоняет гипотезу, необходимо осуществить ее дальнейшую проверку одним из более точных параметрических критериев [1].

1.1. Непараметрические критерии сдвига

1.1.1. Сравнение параметров сдвига двух совокупностей

1.1.1.1 Быстрый (грубый) критерий Кенуя

Пусть . Через обозначим такое значение случайной величины, которое превышается значениями из выборки.

Вычисляется среднее значение

со стандартным отклонением

, где .

Для очень несимметричных распределений используются оценки

; .

Проверка разности в параметрах положения проверяется критерием

,

(индексы относятся к номерам проверяемых выборок).

При объемах проверяемых выборок свыше 20 статистика критерия распределена нормально. Поэтому нулевая гипотеза отсутствия сдвига не отклоняется при доверительной вероятности α, если .

Критерий устойчив к отклонениям от нормальности, имеет эффективность по сравнению с параметрическим критерием Стьюдента не хуже ≈93%.

Ранговые критерии основываются на последовательности рангов выборочных значений случайных величин. При этом рассматриваются не сами выборочные значения, а их ранги, определяемые порядковым номером элемента выборки в общем ряду, упорядоченном по возрастанию. Например, в упорядоченной выборке выборочное значение заменяется рангом .