1.1.1.2. Быстрый (грубый) ранговый критерий

Рассматриваются две выборки объемов и при ( ). Их элементы ранжируются по возрастанию совместно. Одинаковым наблюдениям присваивается одинаковый усредненный ранг. Для каждой группы находятся суммы рангов и и средние ранги и .

Вычисляем . Статистика -критерия может быть аппроксимирована нормальным распределением со средним и дисперсией

.

Поэтому при гипотеза сдвига отклоняется с доверительной вероятностью α.

Эффективность критерия для нормально распределенных выборок 0,95 (для любого другого исходного распределения — не хуже 0,86).

1.1.1.3. Критерий Манна-Уитни-Вилкоксона

Пусть и - упорядоченные по возрастанию выборки. Для проверки гипотезы сдвига Манн и Уитни предложили ранговый критерий, основанный на статистике [1]

, где = (1.1)

Здесь - точное число пар значений и , для которых .

Если

(1.2)

гипотеза сдвига отклоняется ( - критические значения критерия Манна-Уитни) [1].

С -статистикой Манна-Уитни связана статистика Вилкоксона, определяемая суммой рангов элементов одной выборки (предположим, объема ) в общей упорядоченной последовательности элементов совместной выборки объема ( ) [1]:

(1.3)

При применима аппроксимация [1]

(1.4)

Статистика W аппроксимируется нормальным распределением, и гипотеза сдвига отклоняется с достоверностью , если

(1.5)

Если в двух сравниваемых выборках есть совпадающие значения, то им рекомендуется приписывать средние ранги (среднеарифметическое для каждой серии последовательных рангов). При этом в знаменателе статистики следует использовать величину [1]

(1.6)

где — общее число групп совпадающих величин; - число совпавших величин в i-й группе (следует помнить, что совпадения учитываются только тогда, когда совпавшие величины принадлежат различным выборкам, т. е. совпадения, целиком состоящие из элементов одной и той же выборки, на величину W не влияют).

Более точная аппроксимация предложена Иманом [1]. В соответствии с ней гипотеза сдвига отклоняется с достоверностью , если

(1.7)

где

(1.8)

- - квантиль нормального распределения; - - квантиль распределения Стьюдента с степенями свободы; .

Асимптотическая эффективность критерия Манна—Уитни равна

Одним из вариантов применения рассмотренного критерия является так называемый ранговый критерий Вилкоксона. Его статистика строится следующим образом. Для двух выборок и одинакового объема строится ряд разностей [1]

(1.9)

который затем ранжируется по возрастанию.

В упорядоченном ряду значений находится сумма рангов Т величин [1]

. (1.10)

Гипотеза сдвига отклоняется, если [1]

, (1.11)

где и - критические значения статистики Т знакового рангового критерия Вилкоксона.

При применимо приближение [1]

(1.12)

При [1]

(1.13)

гипотеза сдвига отклоняется (здесь – -квантиль стандартного нормального распределения).

Гипотеза сдвига отклоняется на уровне достоверности если [1]

(1.14),

где

(1.15)

– - квантиль стандартного нормального распределения; - - квантиль распределения Стьюдента с степенями свободы.