1.2.1.4. Критерий Кейпена
Является
масштабным аналогом критерия
Фишера-Йэйтса-Терри-Гёфдинга. Если
- ранг
-го
элемента меньшей по объему выборки
в общем упорядоченном ряду (
)
значений объединенной выборки, то
статистика критерия может быть записана
в виде
где
- математическое ожидание квадрата
-й
порядковой статистики в выборке объема
(
)
из стандартного нормального распределения.
Нулевая гипотеза отклоняется, если
где
и
- критические значения статистики
Кейпена.
При справедливо приближение
где
При
нулевая гипотеза принимается с
достоверностью α.
1.2.1.5. Квартальный критерий
Критерий является интуитивным аналогом медианного критерия сдвига. Статистика критерия имеет вид
где
Название
критерия исходит из того, что S
приблизительно равно числу наблюдений
из первой выборки, лежащих за пределами
первой и третьей квартилей объединенной
выборки. Точнее, S
получается, если подсчитать количество
наблюдений
,
для которых
или
,
и, если
делится на 4, прибавить 1/2 в случае, когда
или
для некоторого
,
или прибавить 1 в случае, когда оба
последних равенства имеют место для
некоторых двух различных индексов
.
При
статистика S имеет приближенно нормальное
распределение со средним
и
дисперсией
,
где
Поэтому нулевая гипотеза равенства параметров масштаба принимается, если
где α – доверительная вероятность.
Эффективность
критерия по сравнению с F-критерием
в случае нормального распределения
невелика и равна ≈ 0,37, поэтому им
рекомендуется пользоваться при
>
50 [1].
2. Реализация непараметрических критериев в статистическом пакете r
2.1. Реализация критерия Манна-Уитни-Вилкоксона
В
статистическом пакете R
сформируем две выборки по нормальному
закону распределения c
параметрами
и
.
Объем первой выборки
,
объем второй выборки
Отсортируем полученные выборки по
возрастанию. Используя формулу (1.1)
вычислим статистику Манна-Уитни U.
По таблице критических значений
статистики Манна-Уитни найдем при данных
α
и
.
Если выполняется условие (1.2), то гипотеза
сдвига отклоняется, т.е принимаем
гипотезу
.
Используя данные выборки в критерии
Манна-Уитни-Вилкоксона, который был
разработан в GNU
R
получили, что по статистике Манна-Уитни
гипотеза сдвига отклоняется.
Увеличим
объем выборок
В этом случае найдем статистику
Вилкоксона, воспользовавшись формулами
(1.3), (1.4). Используем формулу (1.6) в
знаменателе статистики Вилкоксона
(1.4), если в выборках есть совпадающие
значения. Гипотеза сдвига отклоняется,
если выполняется условие (1.5). В этом
случае получили, что по статистикам
Манна-Уитни и Вилкосона гипотеза сдвига
отклоняется.
Проверим
гипотезу о наличии сдвига в параметрах
положения с помощью аппроксимации
Имана. Вычислим
и
,
используя формулу (1.8). При выполнении
условия (1.7) принимаем гипотезу
.
По аппроксимации Имана гипотеза сдвига
принимается.
Зададим
объемы выборок
Поскольку
объемы выборок равны, воспользуемся
ранговым критерием Вилкоксона. Используя
формулы (1.9), (1.10), вычисляем статистику
знакового рангового критерия Вилкоксона.
По таблице критических значений
статистики Т данного критерия для
заданных
α
находим
и
.
Если условие (1.11) выполняется, то гипотеза
сдвига отклоняется. Проверяя гипотезу
о наличии сдвига в параметрах положения
критерием Манна-Уитни-Вилкоксона
получили, что по статистике Манна-Уитни
гипотеза сдвига отклоняется, а по
ранговой статистике Вилкоксона гипотеза
сдвига принимается.
Увеличим
объемы выборок до 20. Используем приближение
(1.12) и находим статистику
.
При выполнении условия (1.13) принимаем
гипотезу о равенстве параметров
положения. Вычислив приближение
,
получили, что гипотеза сдвига отклоняется.
Используя полученное значение по формуле (1.15) проверяем выполнение условия (1.14). Если данное условие выполняется, то гипотеза сдвига отклоняется на заданном уровне достоверности . При данной выборке гипотеза сдвига принимается по более точному приближению.