1.1.1.4. Критерий Фишера-Йэйтса-Терри-Гёфдинга

Критерий основан на статистике - математическое ожидание -ой порядковой статистики в выборке объема из стандартного нормального распределения; - ранг значений в объединенной ранжированной выборке и (или ранг в объединенной выборке, тогда суммирование нужно вести по

Для может быть использована аппроксимация

, где

Гипотеза сдвига отклоняется, если , где - критические значения

статистики Фишера-Йэйтса-Терри-Гёфдинга [1].

1.1.1.5. Критерий Ван дер Вардена

Статистика критерия имеет вид

где – γ - квантиль стандартного нормального распределения.

Для вычисления квантилей может быть применено приближение

.

Гипотеза сдвига отклоняется, если , где - критические значения статистики Ван дер Вардена.

При распределение X удовлетворительно описывается нормальным со средним и дисперсией

Если , гипотеза сдвига отклоняется с достоверностью α.

При эффективность критерия Ван дер Вардена не уступает эффективности критерия Стьюдента [1].

1.1.1.6. Медианный критерий

Статистика критерия строится следующим образом. Находится медиана общего упорядоченного ряда и подсчитывается число наблюдений выборки , превосходящих медиану (если нечетно и медиана принадлежит выборке , то это число увеличивается на 1/2). Тогда статистика критерия может быть записана как

, где

При распределение удовлетворительно описывается нормальным со средним и дисперсией

Если

то с достоверностью гипотеза сдвига отклоняется.

Иногда применяется другая форма медианного критерия. Пусть А и С — количества элементов выборки соответственно бо́льших и меньших медианы объединенной выборки, а В и D — аналогичные числа для выборки . Тогда статистикой критерия сдвига является величина

имеющая, при отсутствии сдвига, распределение хи-квадрат с степенью свободы.

Критерий неприменим, если А, В, С или D < 5 и . Эффективность медианного критерия по сравнению с критерием Стьюдента в случае нормального распределения равна 2/π ≈ 0,64 [1].

1.1.1.7. Критерий Мостеллера

Гипотеза равенства средних двух выборок одинакового объема отклоняется с доверительной вероятностью 0,95, если 5 (при 25) или 6 (при ) наибольших или наименьших значений содержатся в одной и той же выборке. Критерий имеет низкую мощность и может быть рекомендован только для быстрой грубой проверки гипотез сдвига [1].

1.1.1.8. Критерий Розенбаума

Применим для двух выборок равного объема. Если не менее 5 (для и α=0,95) или 7 (для и α = 0,99) значений одной выборки находятся вне размаха второй выборки, то нулевая гипотеза отсутствия сдвига на указанных уровнях достоверности отклоняется.

Критерий рекомендуется использовать для быстрой приближенной проверки гипотезы сдвига [1].

1.1.2 Сравнение параметров сдвига нескольких ( ) совокупностей

1.1.2.1. Критерий Круcкала—Уоллиса

Пусть в нашем распоряжении имеются выборок случайных величин

Упорядочим все элементов выборок по возрастанию и обозначим через ранг -ого элемента -й выборки в общем упорядоченном ряду.

Статистика критерия Крускала-Уоллиса для проверки гипотезы о наличии сдвига в параметрах положения нескольких сравниваемых выборок имеет вид [1]

где . (1.17)

Критерий Крускала-Уоллиса является многомерным обобщением двухвыборочного критерия Вилкоксона-Манна-Уитни. Гипотеза сдвига отклоняется на уровне значимости α, если , где - критическое значение критерия Крускала-Уоллиса для . При применимы различные аппроксимации.

Аппроксимация Крускала-Уоллиса.

Пусть [1]

(1.18)

(1.19)

Тогда статистика [1]

(1.20)

будет иметь при отсутствии сдвига -распределение с и степенями свободы. Таким образом, нулевая гипотеза отклоняется с достоверностью α, если [1]

( ). (1.21)

Аппроксимация Имана-Давенпорта.

В соответствии с ней нулевая гипотеза сдвига отклоняется с достоверностью α, если [1]

(1.22)

где

(1.23)

- соответственно критические значения статистик Фишера и хи-квадрат с соответствующими степенями свободы.

Это более точная аппроксимация, чем аппроксимация Крускала-Уоллиса. При наличии связанных рангов (т. е. когда совпадают значения величин из разных выборок и им присваивается одинаковые средние ранги) необходимо использовать модифицированную статистику [1]

, (1.24)

где

(1.25)

– размер группы одинаковых элементов; q – количество одинаковых элементов.

При 20 справедлива аппроксимация распределения статистики -распределением с степенями свободы, т. е. нулевая гипотеза отклоняется, если .