11. Поняття про ірраціональне число і множину дійсних чисел. Методика викладання тотожних перетворень ірраціональних виразів.

За чинною програмою треба вивчати ірраціональні числа і множину дійсних чисел у 8 клас на доступному рівні за короткий час , без багатьох означень і доведень або фактично на рівні уявлень . Тому мотивання і введення ірраціональних чисел можна здійснити таким методичним варіантом.

На одиничному відрізку координатної прямої будується квадрат і ставеться за мету визначити довжину його діагоналей ОК , а відповідне число зобразити точкою Р на координатний прямій.Геометрично це виконується легко відкладанням циркулем відрізка ОК на координатній прямій.Однак виникає запитання : яким чином виражається координата точки К . Щоб з’ясувати це , позначимо довжину відрізка ОК буквою х і побудуємо ще один квадрат , стороною якого є відрізок ОК . З рисунка видно , що площа квадрата вдвоє більша за площу одиничного квадрата . Одже , х2=2, оскільки площа одиничного квадрата дорівнює 1.

Щоб визначити х ,треба розв’язати одержане квадратичне рівняння. Геометричний спосіб розв’язання свідчить про те , що існують два корені цього рівняння . Квадрат кожного з них дорівнює 2. З попереднього матеріалу учні вже знають , що число , квадрат якого дорівнює 2, наз. Квадратним коренем. Арифметичний квадратний корінь позначається символом . Тому два корені рівняння х2=2 є не що інше як числа . Які це числа.

Далі формується і доводиться методом від супротивного твердження : не існує раціонального числа , квадрат якого дорівнює 2. Отже , корені рівняння не належать до раціональних чисел , Звертається увага на те , що не є ірраціональними числа також . Такі числа називаються ірраціональними. ( можна обчислити з якою завгодно к-тю десяткових знаків наближене значення числа , можна показати на калькуляторі)

Ірраціональних чисел можна утворити безліч , якщо записувати неперіодичний десятковий дріб . Інакше і бути не може , бо тоді б вони були числа раціональні.

Якщо множину раціональних чисел доповнити ірраціональними , то одержана множина називається множиною дійсних чисел і позначається буквою . У множині дійсних чисел виявилась можливою дія добування корення з раціональних чисел і деякі інші математичні операції.

В перше з ірраціональними виразами учні ознайомлюються в 8 кл. під час вивчення квадратних коренів. Вирази , які містять дію добування кореня зі змінної або виразу, який містить змінну наз. ірр.в. на цьму етапі навчання мають справу лише з ірр. в. які містять арифметичні квадратні корені. Вирази які містять корені будь- якого степеня вивчаються в курсі алгебри і поч..а. Як відомо, квадратний корінь, наприклад, з числа 25 має два значення: 5 і —5. Тому іноді пишуть: √25 = ±5. Такий запис неправильний, бо домовились під символом √25 розуміти тільки арифметичний корінь. Символ √ треба вводити не зразу після пояснення квадратного кореня, а пізніше, коли буде введено поняття арифметичного кореня. Тоді ж можна розглянути і тотожність (√а)² =|a| ця рівність справедлива при всіх значеннях а.

Переважну більшість тотожних перетворень іррац. виразів виконують, користуючись теоремами про радикали (для додатних а, Ь) звичайно записують так:

У 8 класі розглядають лише деякі з цих тотожностей до того ж тільки з квадратними коренями. Майже всі ці співвідношення доводять однаково, тому ми спинимось на доведенні першого з них для n = 2.

Щоб довести при невід'ємних значеннях а, b тотожність піднесемо обидві частини цієї рівності до квадрата: Як бачимо, квадрати обох частин рівні, тому тотожність справедлива. Міркування було б правильне, коли б ми підкреслили, що обидві частини доводжуваної рівності – числа додатні, а перед цим довели таку лему: якщо квадрати додатних чисел рівні самі числа. Після доведення цієї тотожності учням ще раз треба нагадати що а, Ь — невід'ємні числа. З найхарактерніших помилок, що їх допускають учні в перетворенні ірраціон. виразів є неправильне винесення множників з-під знаку кореня і неправильне внесення множників під знак кореня.

Учні вважають, що рівність а√в=√а²в справедлива при всіх числових значеннях а, зокрема і при відємних

Розв’язати систему вправ 1) винесення мн-на за знак кореня, 2) внесення множника під знак кореня, 3) якщо знак кореня міститься в знаменику дробу, такий дріб можна замінити тотожнім йому дробом, знаменник якого не містить коренів, досить домножити члени дробу на відповідно підібраний вираз, такі перетворення наз. звільненням дробу від ірраціональності.