12. Рівняння та нерівності в основній школі і методика їх вивчення.Методика вивчення дробово-раціональних рівнянь та нерівностей. Метод інтервалів.

У школі поняття рівняння вводять досить рано, в 2-му класі. У 5 класі досить обмежитись таким означенням: “Рівність, яка містить невідоме число, наз рівнянням”.

Розв’язувати найпростіші рівняння можна такими способами:

1. На основі залежностей між компонентами і результатами дій;

2. За властивостями рівностей;

3. За теоремами про рівносильність рівнянь;

4. Графічний спосіб.

Найпростіші рівняння учні розв’язують вже в початкових класах. Тут вони або підбирають корені, або використовують залежності між компонентами і результатами дій. У 5-6 класах повторюють цей матеріал, уточняють, що означає розв’язати рівняння, що таке розв’язок або корінь. Коли учні ознайомляться з від’ємними числами, їм показують, що доданки можна переносити з однієї частини рівняння в іншу змінюючи при цьому їх знаки на протилежні, пояснюють цю властивість користуючись терезами. Термін рівносильні рівняння вперше з’являється 7 класі.

Тут же формулюються і основні властивості:

1. Якщо до обох частин рівняння додати одне й те саме число, то дістанемо рівняння, рівносильне даному;

2. Якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне й те саме число відмінне від нуля

.3. Якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини в іншу, змінивши його знак на протилежний, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.

Розв’язують в 7 класі в основному лінійні рівняння з двома невідомими, його графік, систему лінійних рівнянь з 2-ма невідомими (ах+ву+с=0 в стандартному вигляді ах+ву=с)і способи їх розв’язування і такі, що легко розв’язуються розкладанням на множники. Треба відрізняти лінійні рів-ня від рівнянь першого степеня з однією зміною це рівняння виду ах+в=0, де а і в-довільне число, може мати безліч або зовсім не мати коренів. Розв’язуючи в 7-му кл. рівняння 2-го степеня розкладанням лівої частини рівняння на множники за умов рівності нулю правої частини. Систематичне вивчення квадратних рівнянь передбачене у 8-му кл., розв’язуються формулою коренів кв. рів-ня та способом виділення квадрата двочлена. В 9-му дробово-раціональні рівняння, які зводяться до квадратних, біквадратні рів-ня, симетричні, однорідні та системи рівнянь другого степеня а в 10-11-му вивчаються тригонометричні (найпростіші виду sinx=a, cosx=a, tgx=a), показникові і логарифмічні рівняння.

Вимоги до знань і умінь: знати означення лінійного, квадратного рів-ня і формулу його коренів; мати уявлення про дробово-раціональні рів-ня і знати способи їх розв’язування, розуміти зміст поняття системи двох рів-нь з 2-ма невідомими; вміти розв. лінійні, квадратні, дробово раціональні рівняння та їх системи. Дробово рац. рів-ня розв’язують скориставшись необхідною і достатньою умовою рівності нулю дробу: дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді коли чисельник =0, а знаменник не =0.

Лінійні нерівності раніше вивчали в 7 кл. Про-те після того ,як програма в 7 кл. була спрощена , цю тему було перенесено в 9 кл.

Спочатку вивчають :

числові нерівності :

властивості числових нерівностей ,їх доведення;

лінійні нерівності і їх системи .

При розв’язанні квадратних нерівностей використовують в-ть квадратичної функції .

Звертаємо увагу на випадки коли а 0 , тоді гілки параболи направлені в низ .

Дробово-раціональні нерівності розв’язуються методом інтервалів.

Нерівності в математиці відіграють важливу роль. Із знаками > і < учні знайомляться ще в початковій школі. В 5-6-х класах їх використовують для порівняння чисел, розглядають подвійні нерівності, нерівності із знаками >=і <=. Окремий розділ “нерівності” вивчають в кінці 8-го або на початку 9-го класу. Тут учні ознайомлюються з властивостями числових нерівностей, вчаться розв’язувати нерівності з однією змінною і їх системи, застосовують нерівності до вивчення властивостей функцій і т. ін. Квадратичні, дробово-раціональні ті ін. нерівності вчаться розв’язувати в старших класах. Нерівності із змінними можна розв’язувати різними способами. Найраціональніший із них – на основі таких теорем про рівносильність нерівностей: 1. Якщо з однієї частини нерівності перенести в другу доданок з протилежним знаком, то дістанемо рівносильну їй нерівність. 2. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, то дістанемо рівносильну їй нерівність. 3 Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то дістанемо рівносильну їй нерівність. Загальні доведення цих теорем для учнів важкі, тому пропонується проілюструвати їх на прикладах.