35. ?

36. Методика введения понятия производной.

Подходы к введению понятия производная:

1. Логический (в классах с углубленным изучением математики): производная определяется через предел функции в точке.

2. Исторический: производная определяется без использования понятия предела, поскольку в математике первоначально были сформированы понятия производной и интеграла, а затем, как обобщение данных понятий, понятие предела функции. Данный путь реализуется в классах общеобразовательного уровня.

Для рассмотрения примеров, приводящих к определению и применению данного понятия необходимо актуализировать следующие элементы знаний: приращение аргумента, приращение функции, свойства графика линейной функции.

Схема введения понятия производной.

1. Рассм-т понятие приращаения аргумента и функции, далее угловой коэф-т секущей к графику ф-ции;

2. с помощью приращений выражают среднюю скорость движения и скорость изменения ф-ции на некотором промежутке V_ср(∆t)= ∆x/∆t=(x(t₀+∆t)-x(t₀))/ ∆t, х – путь, ∆f/∆x=(f(x₀+∆x)-f(x₀))/ ∆x

3. вводится представление о касательной к кривой линии и даётся след. нестрогое определение касательной (уточн. В след. § уч.): «проходящую через точку (x₀,f(x₀)) прямую, с отр. кот. практически сливается график ф-ции f, при зн-ниях х близких к х₀, наз. касательной к гр. Ф-ции f в т. (x₀,f(x₀))». В св. с этим далее отмеч.: «естественно д-ть, что угловые коэф-ты секущих, проходящих через т. с коор-тами (х₀,х ²₀) и (х₀+∆x, (х+∆x)²) ф-ции f(x)=x² будут близки к угл. к-ту k касат. К графику этой ф-ции в т. (х₀,f(x₀)), если ∆x будет неограниченно приближ к 0.

k(∆x)= ∆y/∆x= … = 2x₀+∆x. Записав эту ф-лу, закл., что при ∆x≈0 k(∆x) ≈2x₀.

Получ. Ур. Касат. К графику ф-ции f(x)=x² в т. x₀=1 y=2x-1. Сравнивается аналит. получ. рез-т с рез-том, получен. ранее из чисто наглядных соображений.

4. Рассм. понятие мгновенной скор-ти и приходят к след способу её опред.: найти среднюю скорость на (t₀,t₀+ ∆t) и поссм., к какому знач. оно близко, если счит, что ∆t практически не отлич от 0.

Этот способ иллюстр-ся на примере движ. тела, брошенного вертикально вверх по закону, изв. из физики: h(t)=V₀(t)-gt²/2, где V₀ – нач скорость тела.

5. ввод само понятие произв. с этой целью говорят: рассмотрен. две задачи о вычислении углового коэф-та касат. к параболе и нахождение мгновенной скорости тела, брошенного вверх, имели разл-е формулировки. Однако в обоих случаях мы действовали по существу, придерживаясь одной схемы. В применение к произв-й ф-ции f и к любой т. Х₀ эта схема могла быть описана сл. обр-м:

1. с пом-ю ф-лу, задающей ф-цию f, нах. Её приращение в т. Х₀ ∆f=f(x₀+∆x)-f(x₀)

2. наход. выражение для разностного отношения ∆f/∆x (термин ввод. здесь же), кот затем преобразовыв

3. выясняем, к какому числу стремиться ∆f/∆x, если ∆x→0

Найден. т.о. число иногда наз. скор-ю измен-я ф-ции f(x₀) или, что более принято, произв-й ф-ции f(x₀).

Далее формулир. Опред произв: «производная ф-ции f в т. x₀ наз. Чило, к кот стремится разностностное отношение (f(x₀+∆x)-f(x₀))/∆x=∆f/∆x, ∆x→0» (обр внимание, что «предел» не упоминается)

6. в качестве илл-ции рассм пример нах-ния произв ф-ции f(x)=x³ и f(x)=kx+b. [у Колягина и Алимова исп только 1 задача – задача о мгновен скорости, чтобы ввести понятие произв, что с психол точки зрения не совсем приемлимо (т.к. существование углового коэф-та более реально, чем наличие скорости в т)]

7. ввод. Определ ф-ции, дифференцируемой в т х₀ (до данного момента упор делался на производную в точке)

После введения понятия дифференц ф-ции в т ввод. понятие производной ф-ции (без добавления слов «в точке»).

8. вводится производная постоянной с=0

9. ввод нестрогое определение предела ф-ции в т, однако при этом слово «предел» не употребляется: «ф-ция f стремится к L при х→х₀, если разность f(x)-L сколь угодно мала, т.е. |f(x)-L|<h – любое фиксированное число >0, при уменш. |∆x |». Нахождение числа L для ф-ции f наз предельным переходом

10. отмеч, что уч-ся будут иметь дело с предельными переходами в двух основных случаях: 1 – предельный преход в разностном отношении ∆f/∆x, т.е. нахождение производной (с этим сл. Уже знакомы). 2 – с понятием непрерывности ф-ции: «если f(x) →f(х₀) при х→х_0, то ф-цию f наз непрерывной в т х₀». Другими сл, ф-ция счит. Непрерывной в т. х_0, если малым изменениям аргу4мента соответсвуют малые изменения знач ф-ции (это не строгое определение). Гов-ся, что изв. Уч-ся элем. Ф-ции непрервыны в к.-т. Своей области определения, что графики т. Ф-ций изображаются непрерывными кривыми на соотв. Промежутках, что на этом основан способ построения графиков «по точкам», кот. Уч-ся всё время пользуются. При этом, строго говоря, надо предварительно выяснить, действит. Ли та или иная рассм ф-ция непрерывна, пользуясь «строгим» определнием непрерывности.(ф-ция f(x) наз непрерывной в точке x=a, если соблюдаются два условия: при х=а ф-ция f(x) имеет определенное значение b; при x→а ф-ция имеет предел также равный b)

11. док-ся непрерывность ф-ции f(x)=kx+b в каждой точке числовой прямой и ф-ции f(x)=√x при x>0

12. форм-ся правило предельного перехода, которое строго док-ся в курсе мат.ан.:

Правило1. если ф-ция f непрерывна в точке x₀, то ∆f→0, при ∆x→0.

Правило2. если ф-ция f имеет производную в т. x₀, то ∆f/∆x → f’(x₀) при ∆x→0

Правило3. пусть f(x) →A, g(x) →B при х→ x₀ Тогда при х→ x₀, т.е. при ∆x→0, имеет место соотношения:

А) f(x)+g(x) →A+B b) f(x)·g(x) →A·B c) f(x)/g(x) →A/B, B<>0

выводы: правило 1 и 2 следуют из опредлений непрерывности ф-ции f в точке х₀ и производной в т. х₀. правило 3 – для нгепрерывных ф-ций f и g A=f(x₀), B=g(x₀) и эти правила означают, что сумма, произведение и частное непрерывных в точке ф-ций также непрерывны в этой точке.

эти правила использ в дальнейшем при выводе пр. вычисления производных и формулы производной сложной ф-ции. (хотя по программе все из этих правил не треб-ся для обязательного изуч).

следующий § посвящен применению непрерывности прозводной.

13. вводится определение непрерывности ф-ции на промежутке, и рассм пример разрыной ф-ции y=[x], а также непрерывной ф-ции, но не дифф. В данной точке y= |x| в т х₀ [илл-ция кот. Д.б. идити до введения непрерыности, появл. Только полсе того, как это определние уже введено]

14. рассм. метод интервалов для непрерывной ф-ции

15. даётся определение углового коэф-та касательной и точное определение касательной. Опр: «касательная к графику дифф в т х₀ ф-ции f – это прямая, проходящая через точку (х₀, f(х₀)) и им-щая угловой коэф-т f’(х₀)»/

Выводится уравнение касательной y=f(х₀)+f’(х₀)(x- х₀).

16. «док-ся » формула Лагранджа Эта ф. необходима в дальнейшем при док-ве достаточного признака возрастания и убывания ф-ции (не обязательный материал)

17. не обязательный материал – рассмотрение приближенного вычисления по формуле f(x)≈f(x₀)+f’(x₀) ∆x – для дифф в точке х₀ ф-ции f при ∆x, мало отличающихся от 0, её график близок к касательной, если т х₀ такова, что значения f(x), f’(x) нетрудно вычислить, то ф-ла позволяет находить приближ зн-ния f(x) при х, достаточно близких к х_0.

20. механический смысл производной.

К понятию мгновенной скорости добавляется понятие мгновенного ускорения [не обязательный материал].Вообще, понятие производной вводилось, строясь на физических данных, и на этом этапе гов-ся, V(t)=x’(t) – производная откоординаты по времени есть скорость (механический смысл производной)

a= V’(t) – производная от скорости по времени есть укорение

P= A’(t) – мощность есть производная работы по времени.

Далее - применеия производной к исследованию ф-ций

21. формулируется и «док-ся» достаточный признак возрастания (убывания) ф-ции (на основании формулы Лагранджа).

Формула Лагранжа – если ф-ция дифф., то на интервале (a,b) найдётся такая т. С из(a,b), что f’(c)=(f(b)-f(a))/(b-a).

Достаточный признак возрастания ф-ции: если f’(x)>0 в каждой точке интервала I, то ф-ция f возрастает на I

Достаточный признак убывания ф-ции: если f’(x)<0 в каждой точке интервала I, то ф-ция f убывает на I

Док-во возрастания: на осн. ф-лы Лагранжа. Возьмем два любых числа х₁ и х₂ из интервала. Пусть х₁<х₂ . По формуле Л. Существует число с из (х₁,х₂) такое, что f’(c)=(f(х₂)-f(х₁))/(х₂-х₁). Число с принадлежит интервалу I, так как точки х₁ и х₂ принадлежат I. Если f’(x)>0, то f’(с)>0, и поэтому f(x₁)<f(x₂) – это следует из формулы, х₂-х₁>0

22. рассм. Критические точки, максимумы, минимумы и св. с ними необходимые и достаточные условия

- если точка явл экстремумом, то произ равна 0 или не существует - т. Ферма – необходимое условие

- обратное – дост признак – не всегда верно: если непрерывная ф-ция слева возраст, справа убывает, и в точке ф-ция равн 0, то эта точка максимума

23. рассм. Примеры исследования ф-ции с помощью производной

24. исслед. Ф-ции на наибольшее(наименьшее) значение на отрезке (в основе этого исследования - теорема Ваерштрасса) «если f непрерывна на некотором отр, то она достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значения».