51. ?

52. Методика изучения многогранников и выводы формул площадей их поверхностей.

Изучение раздела начинается с введения понятий многогранников. В разных учебных пособиях и учебниках геометрии в средней школе представляются различные подходы к введению этого понятия. В большинстве из них многогр-ик трактуется как ограниченное геометрическое тело поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников (плоских или в виде каркаса). Это в уч Погорелова, Атанасяна, Александрова, Скопица и др. Однако в уч Анатасяна многогр-ик рассматривается как поверхность составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. [в дальнейшем все таки добавлено, что тело ограниченное многогр-ком часто называют многогр-ом].

Как видим понятие многогранника определяется через понятие тело. При первоначальном ознакомлении учащихся с определением многогранника понятие тела не определяется (хотя и используется), в него вкладывется обычный здравый смысл. Однако в последствии к его определению возвращаются (Погорелов, Атанасян). Это определение довольно сложное и не всеми учащимися воспринимается. Например, по Погорелову, телом называется конечная замкнутая область. В свою очередь замкнутая область это область вместе с ее границей; далее областью наз-ся фигура все точки которой являются внутренними и любые две точки которой можно соединить ломаной, целиком принадлежащей фигуре; точка наз-ся внутренней если существует шар в этой точке целиком принадлежащий фигуре; точка наз-ся граничной если некоторый шар с центром в этой точке содержит как внутренние точки области так и точки не принадлежащие область, а совокупность граничных точек есть граница области…

Поскольку вся эта цепочка определений усваивается учащимися с трудом, то по программе она дается им в ознакомительном плане.

Перед определение понятия многогр-ника следует продемонстрировать учащимся модели различных многогр-ков – призм, пирамид, правильных многогр-ов. Показать отдельные их части – грани, ребра, вершины, диаганали. Уместно привести примеры многогр-ов из окружающей жизни – классная комната, строит. техники и зданий, рассказать о таком направлении науки как кристаллография (наука о многогранниках).

Важным моментом изучения данного раздела является формирование понятия выпуклого многогранника. В уч Погорелова многогранник наз-ся выпуклым если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. (похожее и у Атанасяна) Наряду с выпуклыми многогранниками учащиеся должны наблюдать и модели невыпуклых многогранников, т.к. в результате сравнения вырабатывается более четкое представление о тех и других.

Следует отметить, что в школьном курсе стереометрии подробно изучаются только простейшие выпуклые многогранники – выпуклые призмы и пирамиды. И в ознакомительном порядке – правильные многогранники: актаэдр, додекаэдр и косаэдр. Простым примером правильного многогранника является куб.

На внеклассных занятиях можно док-ть теорему, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные многоугольники с числом сторон больше или равными 6. на внеклассных занятиях учащихся можно ознакомить так же с формулой Эйлера: Э=В+Г-Р, где Э – эйлерово число (характеристика), В – число граней, Р – число ребер. В школе изучаются лишь многогранники с эйлеровой характеристикой 2.

Основное внимание при изучении призм уделяется их частному виду – параллелепипеду. Перед изучением темы «Призма» целесообразно повторить свойства параллелограмма и его частных видов, а так же вопросы стереометрии связанные с //-ью и -ью в пространстве, понятие скрещивающихся прямых, двухгранного и линейного углов. Как показывает опыт наибольшие трудности вызывают вопросы связанные с построением и вычислением линейных углов для двухгранных углов призмы(и далее пирамид), углов м/д ребрами и гранями призмы (пирамиды). Поэтому нужно предусмотреть специальные задания, упражнения для выроботки у учащихся соответствующих умений.

Изучение темы «призма» можно разделить на 5 частей:

1. понятие призмы, элементы призмы; 2. прямая и правильная призмы; 3. наклонная призма; 4. площадь поверхности призмы; 5. параллелепипед, свойства параллелепипеда.

В действующих учебниках даются различные определения призмы. У Погорелова призмой называется многогранник который состоит из 2-х плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых //-ым переносом, и всех отрезков соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Следует отметить, что понятие //-го переноса в пространстве в общеобразовательных и профильных классах в настоящее время программой не предусмотрено, поэтому определение призмы в указанном варианте нельзя требовать от учащихся. Но можно дать такое определение, применительно к уч Погорелова, призмой наз-ся выпуклый многогранник состоящий из двух равных плоских многоугольников, расположенных в //-ых плоскостях, и плоских параллелограммов у каждого из которых две противоположные стороны являются одновременно соответствующими сторонами указанных многогранников. Похожее определение приводится в уч Атанасяна: многогранник состоящий из двух равных многоугольников и , расположенных в //-ых плоскостях, и n- параллелограммов.

У Атанасяна: Рассмотрим 2 равных многоугольника, А₁А₂. А_n,B₁…B_n расположенных в параллельных плоскостях и так, что отрезки А₁В₁,…А_nВ_n параллельны. Каждый из n 4-рехугольников А₁А₂В₁В₂,…А_nА₁В₁В_n – параллелограмм. Многоугольник, составленный из двух равных многоугольников А₁А₂…А_n, B₁…B_n, расположенных в параллельных плоскостях и n параллелограммов наз. призмой.

Многоугольники – основания, параллелограммы – боковые грани, отрезки А1В1… - боковые ребра.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого наз. высотой призмы.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной.

Прямая призма называется правильной, если её основания правильные многоугольники. Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей её боковых граней.

После изучения определения и элементов призмы целесообразно показать способ построения призмы, что по существу является док-ом существования такого многогранника. Построение призмы можно осуществлять разными способами.

1. изображение произвольного многоугольника – одно из оснований призмы;

2. из его вершин проводят //-ые м/д собой лучи по сторону от плоскости многоугольника на котором затем откладывают боковые ребра призмы;

3. на лучах от их начала откладывают равные м/д собой отрезки и полученные концы отрезков соединяют также отрезками. Полученный многогранник призма. При этом мыслится, что грани плоские многогранники.

Из элементов призмы большое внимание следует уделить высоте призмы. При перевоначальном знакомстве с высотой необходимо продемонстрировать модель, где предусматривался бы общий случай расположения высоты. После этого целесообразно отметить и показать на моделях что в отдельных случаях высота призмы может совпадать с боковым ребром. После введения понятия высоты призмы необходимо рассмотреть частные случаи призм: прямые, правильные.

Далее можно переходить к рассмотрению формул для вычисления боковой и полной поверхностей призмы. При выводе этих формул учителю целесообразно продемонстрировать развертку к-л призмы и убедить учащихся, что вывод указанных формул сводится к вычислению соответствующих площадей развертки.

Теорема: Sбок поверхности прямой призмы = произведению периметра основания на высоту призмы. Sбок.=P*h

Док-во. Боковые грани прямой призмы прямоугольники.

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней Sполн.= Sбок.+ 2Sосн.

При изучении параллелепипеда целесообразно провести аналогию с параллелограммом так, чтобы учащиеся сам-но сформулировали свойства параллелепипеда. Данная тема богата разнообразными задачами. Все опорные задачи целесообразно разделить на группы:

1. на построение и вычисление высоты призмы; 2. на вычисление линейных углов двухгранных углов призмы; 3. на построение и вычисление углов м/д диагональю, боковым ребром и основанием призмы; 4. на построение и вычисление углов м/д диагональю призмы и м/д диагоналями призмы; 5. на вычисление S поверхности призмы (боковой и полной), и S диагональных сечений.