6. Свойства среднего значения

1. Среднее от неслучайной величины c = const равно значению этой величины, т. е.

(A.30)

Это свойство следует из того, что постоянная c принимает единственное значение c с вероятностью 1.

2. Еcли с - неслучайная величина, а X - случайная, то

, (A.31)

т. е. постоянную можно выносить за знак среднего значения.

Для доказательства предположим, что X - непрерывная случайная величина с плотностью вероятности  (x). Обозначив y = cx и подставив его в формулу (A.28), получим

Аналогичным образом доказывается это свойство для дискретной величины X.

3. Среднее от суммы двух случайных величин равно сумме иx средних значений, т. е.

áX + Yñ = áXñ + áYñ. (A.32)

Докажем это свойство. Пусть X и Y две дискретные случайные величины со следующими законами распределения

, .

Когда X и Y принимают соответственно значения x₁, x₂, …x_n;

y₁, y₂, …y_m, их сумма Z = X + Y, являясь также случайной величиной, принимает m× n возможных значений, что хорошо видно из следующей таблицы:

,

где P(x_i, y_i) - совместная вероятность того, что случайная величина X приняла значение x_i, а случайная величина Y при этом - значение y_j.

По определению среднего (A.24)

(A.33)

В выражении (A.33) учтено, что

, (A.34)

. (A.35)

Последние два равенства следуют из теоремы сложения несовместных событий. Перепишем соотношение (A.34) в виде

.

Правая часть последнего равенства представляет собой на основании теоремы сложения вероятность того, что величина X + Y примет значение либо (x_i + y₁), либо (x_i + y₂), …, либо (x_i + y_m) и, следовательно, равна вероятности того, что X примет значение x_i, т. е. P(x_i). Действительно, если X примет значение x_i, то X + Y примет обязательно одно какое-нибудь значение из x_i + y₁, x_i + y₂, …, x_i + y_m и наоборот. Аналогично доказывается выражение (А.35).

Как видно из доказательства, свойство (A.32) справедливо для независимых и для зависимых случайных величин.

По индукции доказанное свойство нетрудно распространить на большее число суммируемых случайных величин :

. (A.36)

4. Среднее от произведения двух независимых случайных величин равно произведению их средних значений.

. (A.37)

Весьма существенно, что это равенство имеет место только для независимых случайных величин.

Доказательство этого свойства проводится аналогично предыдущему. В самом деле

где учтено, что величины X и Y независимы, т. е.

.

7. Дисперсия и ее свойства

Для характеристики рассеивания возможных значений случайной величины около ее среднего значения вводится дисперсия, которая представляет собой среднюю квадратическую разность между значениями случайной величины и ее средним значением, т. е.

. (А.38)

По определению среднего для дискретных случайных величин

, (A.39 а)

где введено обозначение , а для непрерывных величин

. (A.39 в)

Следует отметить, что в качестве меры рассеивания не может быть взята величина , так как она равна нулю для любых случайных величин. В самом деле, используя основные свойства сред­него значения, получим

. (A.40)

Формулу (А.38) можно преобразовать к виду иногда более удобному для использования. Для этого возведем в квадрат величину, стоящую в угловых скобках (А.38) и воспользуемся основными свойст­вами среднего значения.

(A.41)

Таким образом, дисперсия случайной величины X равна среднему квадрату этой величины минус квадрат ее среднего.

Для характеристики рассеивания более целесообразно взять величину, которая имеет размерность самой случайной величины, а не ее квадрата. Поэтому в рассмотрение вводят среднее квадратическое отклонение _x, которое равно корню квадратному из дисперсии:

. (A.42)

Перейдем к доказательству основных свойств дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины c = const равна нулю. В самом деле,

. (A.43)

2. Неслучайная величина c = const выносится из-под знака дисперсии

в квадрате:

. (A.44)

По определению дисперсии

.

Аналогичное свойство получаем для среднего квадратичного отклонения:

.

2. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна

сум­ме их дисперсий:

. (A.45)

По определению

так как на основании выражения (A.37) среднее значение от произведения независимых величин и равно произведению их средних, каждое из которых, согласно (A.40), равно нулю, т. е.

Формулу (A.45) легко с помощью метода индукции распространить на большее число суммируемых независимых случайных величин:

. (A.46)

Подчеркнем, что формулы (A.45) и (A.46) имеют место только для независимых величин.