10. Теорема Бернулли

Теорема Бернулли формулируется следующим образом: Если m/n  частота наступления события A при n незави­симых испытаниях, а р  вероятность этого события в каждом испы­тании, то как бы малы ни были заданные положительные числа  и , выбирая достаточно большое n можно выполнить неравенство

(A.59)

Доказательство.

Введем случайную величину X_i  число наступлений события A в i-м опыте. Она может принимать два значения: 1 и 0 с вероятностями (A) = р и P( ) = 1– р  q, соответственно, т. е.

(A.60)

Среднее значение этой величины

. (A.61)

В серии из n опытов частота события A

, (A.62)

где (A.63) представляет собой число появлений события A в n опытах. Найдем среднее значение и дисперсию величины X (см. (А.31), (А.36), (А.39а)).

. (A.64)

(A.65)

Применим неравенство Чебышева (A.47) к случайной величине

X = m/n.

. (A.66)

Подставив выражения (A.64) и (A.65) в неравенство (A.66), получим

(A.67)

Дальнейшие рассуждения, приводящие к неравенству (A.59), осуществляются совершенно аналогично переходу от (A.54) к (A.58), проведенному при доказательстве теоремы Чебышева.

Важность доказанной теоремы Бернулли состоит в том, что нахожде­ние вероятностей событий, теоретический расчет которых затруднен или практически неосуществим, возможно опытным путем.

11. Плотность вероятности ординат монотонной функции случайного аргумента

Пусть две случайные величины Х и Y связаны монотонной функциональной зависимостью Требуется найти плотность вероятности , если плотность вероятности известна. Рассмотрим отдельно два случая, когда функция монотонно возрастает и монотонно убывает.

а б

Рис. 96

1. Функция на интервале монотонно возрастает (рис. 96, a). На рис. 96, б проведем прямую, параллельную оси X и находящуюся на расстоянии у от неё. Тогда интегральная функция распределения

так как событие, состоящее в том, что случайная величина Y примет значение, меньшее у, равносильно тому, что случайная величина Х примет значение меньше х, где – функция обратная функции Поэтому

(А.68)

Согласно формуле (А.20), плотность вероятности находится дифференцированием выражения (А.68).

(А.69)

Таким образом, . (А.70)

Равенство (А.70) можно переписать в виде:

. (А.71)

2. Функция на интервале монотонно убывает

(рис. 96, б). В данной ситуации выполнение неравенства Y < y равнозначно тому, что случайная величина . Поэтому

.

Плотность вероятности

или (А.72)

Правая часть выражения (А.72) положительна, так как . Поэтому формулы (А.70) и (А.72) можно объединить в одну:

. (А.73)

Приложение b интегралы, встречающиеся при применениях распределения максвелла.

1. Вычислим так называемый интеграл Пуассона:

, (В.1)

часто встречающийся в теории вероятностей и ее приложениях. Как видно из (В.1), интеграл Пуассона является функцией параметра α. Перемножив два таких интеграла, перейдем затем в полученном выражении от декартовых переменных х, у к полярным r, φ, что позволит просто вычислить этот интеграл:

Откуда находим . Таким образом, интеграл Пуассона

. (В.2)

Выражение В.2 представляет собой тождество, справедливое при любых α > 0. Продифференцировав его по параметру α, получим

. (В.3)

Дифференцируя тождество (В.3) снова по параметру α, будем иметь

. (В.4)

Учитывая, что подынтегральные функции в выражениях (В.3) и (В.4) четные, нетрудно получить следующие тождества:

, (В.5)

. (В.6)

2. Часто при применениях распределения Максвелла встречаются интегралы вида

,

где n – нечетное число. При n =1 интегрирование дает

,

т. е.

. (В.7)

Продифференцируем тождество (В.7) по параметру α. В результате получим

. (В.8)

Дифференцирование второй раз дает

. (В.9)

284