Приложение а основные понятия теории вероятностей

1. Понятие вероятности события

Под событием в теории вероятностей понимают всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Разные события имеют разную возможность наступить. Чтобы количественно сравнить события по степени возможности наступить, с ними связывают определенные числа, называемые вероятностью события, которое тем больше, чем более оно возможно. В качестве единицы измерения вероятности естественно принять вероятность достоверного события, т. е. такого события, которое в результате опыта наступает всегда. Так же естественно невозможному событию, т. е. событию, которое в данном опыте никогда не наблюдается, приписать вероятность равную нулю. Таким образом, по определению, диапазон изменения вероятностей – [0,1], т. е. вероятность возможного, но недостоверного события А

(А1)

,

где буквой Р обозначена вероятность события А.

Введем некоторые вспомогательные понятия.

1. Говорят, что события А₁, ..., А_n образуют полную группу, если в результате опыта обязательно наблюдается одно из них.

К примеру, выпадение орла (событие A₁) и выпадение решки (событие А₂) при бросаниях монеты образуют полную группу событий. Так же образуют полную группу шесть событий, наблюдаемых при бросании игральной кости (кубика из однородного материала).

2. События А₁, ..., А_n в данном опыте называют несовместными, если никакие два из них не могут произойти вместе.

3. События А₁, ..., А_n в данном опыте называют равновозможными (равновероятными), если по условиям симметрии опыта следует считать, что ни одно из этих событий не имеет объективного предпочтения перед другим в возможности наступить.

Очевидно, что события в каждом из двух выше приведенных примерах несовместны, равновероятны и образуют полную группу событий.

Если исходы некоторого опыта образуют полную группу несовмест-ных и равновероятных событий (тогда говорят о схеме случаев), то вероятность каждого из этих исходов (событий можно вычислить по формуле

(А2)

,

где m – число случаев, благоприятных событию А, а n – общее число всех возможных случаев.

Для событий, не сводящихся к схеме случаев, нахождение их вероятностей производится определением из опыта так называемой частоты события:

где m₁ – число появлений события А при n₁, проведенных опытах. Оказывается, что частота , найденная из опыта, почти достоверно близка к вероятности , если только число n опытов достаточно велико. Последнее утверждение является содержанием теоремы Я. Бернулли, которая будет доказана в параграфе А.10.

Нахождение частоты прямо из опыта, как правило, затруднено сложностью, дороговизной или невозможностью постановки массовых экспериментов над событием А. Вероятности (частоты) таких событий определяют через вероятности (частоты) других событий, с ними связанных, постановка опытов над которыми несложны и недороги. Теория вероятностей как научная дисциплина по сути своей и составляет набор таких косвенных способов нахождения вероятностей сложных событий через вероятности более простых событий.

Эти способы кратко рассматриваются далее.