3. Интегральная функция распределения случайной величины

О п р е д е л е н и е. Случайной величиной Х называют величину, которая в результате опыта принимает то или иное значение, заранее неизвестно какое.

О п р е д е л е н и е. Интегральной функцией распределения Ф(х) называется вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее х, т. е.

(А15)

.

Докажем некоторые свойства функции Ф(x).

1. Функция Ф(х) – неубывающая функция своего аргумента, т. е. если х₂ > х₁, то .

Для доказательства свойства 1 разобьем интервал ( ) на два несовместных (не имеющих общих точек): ( ) и [ ). Тогда по теореме сложения несовместных событий

т. к. .

(А16)

2. .

(А17)

3. .

Последние два свойства очевидны.

4. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение на интервале от до , равна приращению функции на этом интервале,

т. е.

(А18)

Для доказательства разобьем интервал ( ) на два несовместных интервала: ( ) и ( ). Тогда по теореме сложения

или

.

Из последнего равенства непосредственно следует четвертое свойство.

5. .

4. Плотность вероятности

По определению производной интегральной функции распределения

(А19)

.

В числителе правой части последнего выражения стоит вероятность, что случайная величина примет значение на интервале Δх, лежащем возле точки х. Ясно, что эта вероятность зависит от того, где взять эту точку х, т. е.

.

Если эту величину разделить на Δх и устремить Δх к нулю, то получим плотность вероятности (по аналогии линейной плотности массы, “размазанной” по оси х) случайной величины Х в точке х. Таким образом, если обозначить плотность вероятности ω(х), то из (А19)

(А20)

.

Отметим некоторые полезные свойства плотности вероятности ω(х).

1.

Это свойство сразу же следует из первого свойства интегральной функции распределения Ф(х) и выражения (А20).

2. .

Для доказательства, найдём из (А20) Ф(х).

(А21)

Положив в (А21) и учтя, что , получим второе свойство.

3. Чтобы найти вероятность принять случайной величине значение из интервала ( , β), необходимо проинтегрировать плотность ω(х) на этом интервале, т. е.

(А22)

.

Для доказательства воспользуемся четвертым свойством функции Ф(х) и выражением (A21):

.

Что и требовалось доказать. Из (А.22) следует, что вероятность принять случайной величине Х значение из бесконечно малого интервала

.

5. Среднее значение

Среднее значение является важнейшей, хотя и грубой, характеристикой случайной величины X. Она характеризует среднее, ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. Чтобы установить правило, по которому её вычисляют, рассмотрим сначала дискретную случайную величину X, характеризуемую рядом распределения

xi	x1	x2	…	xn
P(xi)	P(x1)	P(x2)	…	P(xn)

где x_i – возможные значения, которые принимает на опыте случайная величина X, а P(x_i) – их вероятности появления.

Пусть произведено большое число N измерений случайной величины Х так, что значение x₁ было наблюдено т₁ раз, х₂ – m₂ раз,...x_n – m_n раз. При этом

.

Среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины X равно:

(А23)

,

где  величина, характеризующая, как часто принимает в опыте значение x_i случайная величина X. Величину называют частотой события x_i. Дальше будет доказано, что частота с вероятностью почти единица (т. е. достоверно) равна вероятности , если только число опытов (Теорема Бернулли). С учётом этой теоремы равенство (А23) можно переписать в виде:

(А24)

.

Величину (А24) называют средним значением случайной величины Х и обозначают . Таким образом, среднее значение дискретной случайной величины Х равно сумме произведений каждого из ее возможного значения x_i на его вероятность Р(х_i).

В случае непрерывной случайной величины Х нетрудно получить аналогичное выражение для вычисления ее среднего значения:

(А25)

.

Для доказательства формулы (А.25) перейдем от непрерывной случайной величины X, заданной на интервале , к дискретной X по следующему правилу. Разобьем интервал  достаточно малыми отрезками .Каждому из этих отрезков сопоставим число x_i, соответствующее, к примеру, границе x. В результате получим дискретную случайную величину X¢ = (…x ₁, x₀, x₁…). Тогда вероятность P(x_i) того, что дискретная случайная величина X¢ примет значение x_i, очевидно, будет равна вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение на интервале Dx, лежащем около точки с координатой x_i, т. е.

P(x_i) =  (x_i) Dx. (A.26)

Подставляя (A26) в (A24) и переходя к пределу Dx®0, получим

, (A.27)

что совпадает с (A25).

Если некоторая случайная величина Y связана с X функциональной зависимостью y = f(x), то среднее значение случайной величины Y, очевидно, найдется по формуле

. (A.28)

К примеру, если y = x², то

. (A.29)