- •Глава 6. Твердые тела
- •6.1. Аморфное и кристаллическое состояние вещества
- •6.2. Классификация кристаллов по типу молекул, составляющих кристалл
- •6.3. Анизотропия кристаллов
- •6.4. Кристаллические решетки Браве
- •6.5. Потенциальная энергия взаимодействия ионных кристаллов
- •6.6. Плавление, кристаллизация и возгонка твердых тел
- •6.7. Теплоемкость кристаллов
- •Приложение а основные понятия теории вероятностей
- •1. Понятие вероятности события
- •2. Простейшие теоремы теории вероятностей
- •3. Интегральная функция распределения случайной величины
- •4. Плотность вероятности
- •5. Среднее значение
- •6. Свойства среднего значения
- •7. Дисперсия и ее свойства
- •8. Неравенство Чебышева
- •9. Теорема Чебышева
- •10. Теорема Бернулли
- •11. Плотность вероятности ординат монотонной функции случайного аргумента
- •Приложение b интегралы, встречающиеся при применениях распределения максвелла.
8. Неравенство Чебышева
Если случайная величина X имеет среднее значение mx и конечную дисперсию Dx, то неравенство Чебышева утверждает: каково бы ни было наперед заданное положительное число , вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего среднего не меньше, чем на , ограничена сверху величиной Dx,/2:
. (A.47)
Доказательство неравенства (A.47) проведем для непрерывной случайной величины X, заданной на бесконечном интервале с плотностью вероятности x. По формуле (A.39)
.
Так как x 0, то подынтегральная функция в последнем выражении положительна. Поэтому, если распространить интегрирование только на те значения x, которые удовлетворяют неравенству , то интеграл от этого только уменьшится:
. (A.48)
Интеграл (A.48) еще уменьшится, если, в соответствии с неравенством , величину заменить величиной :
.
Последний интеграл, на основании (A.22), представляет собой вероятность выполнения неравенства , т. е.
.
Таким образом,
.
Откуда следует неравенство Чебышева (A.47).
Из неравенства Чебышева следует, что вероятность отклониться значению случайной величины от ее среднего на величину большую не может быть больше 1/9, т. е.
.
Последнее неравенство, очевидно, имеет место для любых законов распределения x. Фактически для всех используемых на практике плотностей вероятностей x непосредственный расчет вероятности дает значение значительно меньшее 1/9. Поэтому, если для некоторой случайной величины известно и mx, то с высокой уверенностью можно утверждать, что эта случайная величина будет крайне редко принимать значения вне интервала .
9. Теорема Чебышева
Пусть имеется случайная величина X со средним значением mx и конечной дисперсией Dx. Теорема Чебышева утверждает, что при неограниченном увеличении числа независимых опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений xi сходится по вероятности к ее среднему значению mx, т. е.
, (A.49)
где как угодно малые заданные положительные числа.
Иными словами, теорема утверждает, что достаточно большим выбором числа независимых опытов n можно добиться того, что среднее арифметическое наблюдаемых значений с вероятностью почти равной единице (достоверно) будет равняться среднему значению случайной величины.
Для доказательства введем в рассмотрение случайную величину Y, равную среднему арифметическому наблюдаемых значений Xi, полученному по конечному числу независимых опытов, т. е.
. (A.50)
Наблюдаемые в опыте xi можно, очевидно, рассматривать как независимые случайные величины Xi с одним и тем же законом распределения. Поэтому средние значения у них одинаковы и равны mx. Дисперсии тоже одинаковы и равны Dx.
Пользуясь основными свойствами среднего и дисперсии, найдем среднее значение и дисперсию случайной величины Y.
. (A.51)
. (A.52)
Из последних соотношений видно, что независимо от числа опытов, среднее значение Y равно среднему значению величины X, а дисперсия Y при увеличении числа опытов стремится к нулю. Из этого следует (на основании первого свойства дисперсии), что среднее арифметическое Y при достаточно большом числе опытов перестает быть случайной величиной, стремясь к постоянной mx дисперсия которой равна нулю.
В неравенство Чебышева
, (A.53)
записанного для случайной величины Y, подставим соответствующие значения из выражений (A.50)–(A.52). В результате получим
. (A.54)
При конечной дисперсии Dx, как бы малы ни были заранее заданные положительные числа и , выбором достаточно большого числа опытов n можно правую часть неравенства (A.54) сделать меньше , т. е.
. (A.55)
Введем в рассмотрение два противоположных события A и , т. е. два несовместных события, образующих полную группу, для которых
P(A) + P( ) = 1, (A.56)
Событие A заключается в том, что при n опытах величина оказалась больше или равной , а событие – та же величина приняла значение строго меньше .
Тогда выражение (A.56) можно переписать в виде
. (A.57)
Подставив выражение (A.57) в (A.55), получим
(A.58)
что и доказывает теорему Чебышева.