3.2Второй метод Ляпунова. Устойчивость в большом и в целом.

Второй, или прямой, метод Ляпунова позволит исследовать устойчивость решений нелинейных дифференциальных уравнений, не производя решение самих уравнений. Рассмотрим автономную систему (3.1.2). При этом полагаем, что функции f_i(x₁,…, x_n) имеют непрерывные частные производные по всем аргументам в некоторой выразимой области ς: ║х║≤μ n-мерного пространства.

Рассмотрим функции V(x₁,…, x_n) определенные и непрерывные в области ς:║х║≤μ и обладающими в этой области непрерывными частными производными по переменным x₁,…, x_n.

Функция V(x) называется знакоположительной (знакоотрицательной) в указанной области ς, если для любого x ς имеем V(x)≥0 (V(x)<0), причем V(x)=0 тогда и только тогда, когда x =0.

Функции V(x) первого типа называются знокопостоянными, второго - знакоопределенными.

Пусть функция V(x) является квадратичной формой, т.е. . (3.2.2)

Функция V(x) является определенно положительной (определенно отрицательной), если положительно определена (отрицательно определена) квадратичная форма (3.2.2). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные диагональные миноры ее матрицы строго положительны.

Дадим знакоположительной функции V(x) геометрическую интерпретацию. Для простоты рассмотрим функцию двух переменных V(x₁, x₂). На плоскости x₁x₂ линия V(x₁, x₂)=с, где с – некоторое число, представляющее собой правило, содержащую внутри начало координат.

Пусть ξ(t) – некоторое решение системы (3.1.2), удовлетворяющее начальному условию ξ(t₀)=x.

Полной производной по времени t функции V(x) в силу системы (3.1.1) называется функция , или (3.2.3)

Из формулы (3.1.3) следует, что производная в силу системы (3.1.2) не зависит от выбранного решения ξ(t), а является функцией точки x.

Если ввести обозначения , то выражение (3.2.3) можно переписать в виде

. (3.2.4)

Производная в силу системы (3.1.2) представляет собой скалярное произведение вектора gradV на вектор фазовой скорости f(x).

Положительно определенные функции V(x), производные которых в силу системы (3.1.2) являются отрицательно определенным или знакоотрицательными называются функциями Ляпунова.

1.Теорема Ляпунова об устойчивости.

Если для системы уравнений (3.1.2) существует положительно определенная функция V(x), производная которой в силу системы (3.1.2) знакоотрицательна, то тривиальное решение системы x(t)≡0 системы (3.1.2) устойчиво по Ляпунову.

Доказательство:

Возьмем произвольное число ε >0 и рассмотрим множество значений х, удовлетворяющих соотношению: ║х║= ε.

Обозначим: (3.2.5)

- точная нижняя грань функции V(x) по всем х, удовлетворяющих ║х║= ε.

Т.к. V(0)=0, то можно указать такую δ-окрестность начала координат в n-мерном пространстве x₁,…, x_n, что V(x)<α, если ║х║< δ. (3.2.6)

Рассмотрим некоторое решение ξ(t) системы (3.1.2), удовлетворяющее начальному условию: ║ξ(t₀)║< δ. Функция V(ξ(t)) будет невозрастающей функцией t вдоль этого решения, т.к. производная в силу любых t > t₀ выполняется неравенство:

V(ξ(t)) ≤ V(ξ(t₀)) < α. (3.2.7)

Покажем, что для любых t > t₀ справедливо неравенство: ║ξ(t)║< ε. (3.2.8)

Пусть для некоторого момента времени t₁ > t₀ выполняется равенство ║ξ(t₁)║= ε₁, тогда . (3.2.9)

Это противоречит неравенству (3.2.7).

Из доказательства теоремы следует способ определения по заданному t >0 такого числа δ >0, что ║ξ(t)║< ε, если при t₁ = t₀ справедливо неравенство ║ξ(t₀)║< δ. Для этого по заданному числу ε >0определяют , а затем выбирают δ >0 так, чтобы V(ξ(t₀)) < α для всех ξ(t₀) удовлетворяющих условию ║ξ(t₀)║< δ.

2.Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.

Пусть для системы дифференциальных уравнений (3.1.1) существует положительно определенная функция V(x), производная которой в силу системы (3.1.2) отрицательно определена. Тогда тривиальное решение x(t)≡0 системы (3.1.2) асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Доказательство:

Асимптотическая устойчивость тривиального решения означает, что:

1. тривиальное решение x(t)≡0 устойчиво;

2. если в начальный момент времени t₀ некоторое решение ξ(t) удовлетворяет неравенству ║ξ(t₀)║< , то .

Устойчивость тривиального решения следует из предыдущей теоремы.

Рассмотрим произвольное нетривиальное решение ξ(t) системы (3.1.2), удовлетворяющее при t₁ = t₀ неравенству ║ξ(t₀)║< , и покажем, что .

Получим поведение функции V(x) вдоль этого решения. Т.к. производная функции V(x) в силу системы (3.1.2) , то функция V(x) моментально убывает вдоль решения ξ(t) при возрастании t. Эта функция ограничена снизу, т.к. V(x)≥0. Всякая монотонно убывающая, ограниченная снизу функция имеет предел, следовательно существует предел: . (3.2.10)

Пусть α>0, тогда ║ξ(t)║≥ β >0, для всех t₁ ≥ t₀.

Если бы существовала последовательность значений {t_k}→ + ∞ такая, что (║ξ(t_k)║≥β>0 для всех t₁ ≥ t₀ при k→ ∞).

║ξ(t_k)║ → 0 при k→ ∞, то V(ξ(t_k)) → 0 при k→ ∞. Это противоречит утверждению, что α>0.

В силу отрицательность определенности производной из уравнения ║ξ(t)║≥β>0 следует, что , (3.2.11)

где Y>0 – некоторое действительное число, тогда

. (3.2.12)

Из интеграла (3.2.12) получим:

. (3.2.13)

При достаточно большом t будет справедливо неравенство (ξ(t))<0, что противоречит условию положительной определенности функции V(x).

Следовательно: . (3.2.14)

Докажем, что . Пусть существует последовательность {t_k}→ ∞ такая, что .

Тогда , что противоречит равенству (3.2.14). Следовательно ║ξ(t)║ → 0 при t = t₀.

3.Теорема Ляпунова о неустойчивости.

Если для системы уравнений (3.1.2) существует непрерывная функция V(x), удовлетворяющая условию V(0)=0, производная которой в силу системы (3.1.2) знакоопределенная, причем в любой окрестности начала координат имеются точки, в которых знак функции V(x) совпадает со знаком ее производной, то тривиальное решение неустойчиво в смысле Ляпунова.

Доказательство:

Пусть множество точек х, удовлетворяющих неравенству ║х║<μ, является областью знакоопределенной производной функции V(x) в силу системы (3.1.2). Покажем, что как бы ни было мало число δ >0. В этом случае всегда имеется решение ξ(t) системы (3.1.2), обладающее следующими свойством:

Найдется такой момент времени t, при котором будет справедливо неравенство ║ξ(t₁)║≥ ε, несмотря на то, что в начальный момент времени t = t₀ выполнялось неравенство ║ξ(t₀)║< δ. Это и будет означать неустойчивость тривиального решения.

Выберем ε = μ. Для определенности наложим . Выберем начальную точку ξ(t₀) так, чтобы V(ξ(t₀))> 0. По условию задачи такой выбор ξ(t₀) всегда возможен. Рассмотрим теперь решение ξ(t), удовлетворяющее начальному условию. Т.к. производная вдоль решения ξ(t), то функция V(ξ(t)) возрастает вдоль этого решения. Следовательно: V(ξ(t)) ≥ V(ξ(t₀)) при t > t₀. (3.2.15)

Из неравенства (3.2.5) получим, что решение ξ(t) не приближается к началу координат, т.е. ║ξ(t)║≥ α >0, (3.2.16)

т.к. - определенно положительная функция, то в области α ≤║х║≤ μ производная удовлетворяет неравенству: .

Покажем, что найдется такой момент времени t₁, для которого ║ξ(t₁)║≥ μ. Действительно, пусть для всех значений t [t₀, ∞) справедливо неравенство ║ξ(t)║< μ, но

. (3.2.17)

Из формулы (3.2.17) следует, что функция V(ξ(t)) неограниченно возрастает при t→ ∞. Получим противоречие, т.к. из неравенства ║ξ(t)║< μ следует ограниченность V(ξ(t)) для любых t.