- •Описание систем в виде обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Классическая модель описания систем
- •Представление непрерывных систем в виде дифференциальных уравнений
- •1.2 Преобразование систем дифференциальных уравнений
- •Основные свойства линейных дифференциальных уравнений.
- •Решение дифференциальных уравнений
- •Получение импульсной характеристики на основе дифференциальных уравнений
- •Прямой и обратный разностный оператор
- •Представление дискретных систем в виде разностных уравнений
- •1.8 Основные свойства линейных разностных уравнений
- •1.9 Решение разностных уравнений с постоянными коэффициентами
- •2. Модель вход-состояние-выход
- •2.1 Понятие состояния и уравнение состояния
- •2.2 Наблюдаемость и управляемость. Передаточные функции.
- •Линейные стационарные системы в постоянном времени
- •2.4 Линейные стационарные системы в дискретном времени
- •3.Основы теории устойчивости Ляпунова
- •3.1 Первый метод Ляпунова. Устойчивость в малом.
- •3.2Второй метод Ляпунова. Устойчивость в большом и в целом.
- •3.3 Уравнение Ляпунова. Адаптивные системы.
Прямой и обратный разностный оператор
Уравнения в конечных разностях оперируют с функциями дискретной переменной. Пусть y(k) обозначают функцию, определенную только при целых значениях k. Произвольная функция, определенная в равноотстоящие промежутки времени, может быть выражена подобным образом путем надлежащего выбора масштаба. Определим оператор сдвига Е в виде:
E[y(k)]=y(k+1) (1.6.1)
Последовательное применение этого оператора дает E2[y(k)]=E[Ey(k)]=y(k+2).
Или в общем случае
En[y(k)]=y(k+n) (1.6.2)
для любого положительного целого числа n. Разностный оператор ∆ определяется как
∆y(k)=y(k+1)-y(k) . (1.6.3)
Таким образом, последнее выражение можно переписать в виде
∆y(k)=(E-1)y(k),
Где операторы ∆ и Е связаны соотношением ∆=Е-1. (1.6.4)
∆y(k) называется первой разностью функции у(k). Разности высшего порядка определяются так:
∆2y(k) = ∆[∆у(k)] - у(k + 2) - 2у (k+l) + y(k),
∆3y(k) = ∆[∆2y(k)] = y(k + 3) - 3y(k + 2) + 3y(k + 1) - у(k)
или в общем случае,
(1.6.5)
где означают биномиальные коэффициенты. Последнее уравнение совместно с уравнениями (1.6.2) и (1.6.4) дает
Операторы ∆ и Е подчиняются обычным законам алгебры:
∆[су(k)] = с∆у(k),
∆m[y(k) + z(k)] = ∆my(k) = ∆mz(k), (1.6.6)
∆m∆ny(k) = ∆n∆my(k) = ∆m+ny(k),
где с постоянная величина, а m и n положительные целые числа. Уравнение (1.6.6) остается справедливым при замене ∆ на Е. Операторы коммутативны между собой, но в общем случае не коммутативны с функциями:
∆[у (k) + z(k)] = y(k)∆z(k);
Оператор ∆ для дискретных функций является своего рода аналогом дифференциального оператора р = d/dt для непрерывных функций. Чтобы пояснить сказанное, рассмотрим непрерывную функцию f(t), производная от которой равна
(1.6.7)
Если функция рассматривается только в дискретные моменты t=nT (n= 0, 1, 2, ...), оператор сдвига и разностный оператор определяются в виде Ef(t)=f(t+T),
∆f(t)= f(t+T)-f(t). (1.6.8)
Тогда
(1.6.9)
или в общем случае
. (1.6.10)
Представление дискретных систем в виде разностных уравнений
Общий вид разностного уравнения, связывающего выход y(k) и вход v(k) дискретной системы, задается выражением
any(k + n) + an-1y(k + n - 1) + ... + a1y(k + 1) + a0y(k) = bmv(k + m) + ... + b1v(k + 1) + b0v(k) (1.7.1)
или, соответственно,
[cn∆n+cn-1∆n-1+...+c1∆+c0]y(k) = [dm∆m+...+d1∆+d0]v(k). (1.7.2)
Для линейных систем ai, bi, ci, di не являются функциями от у или v, но они могут зависеть от k. Для линейных систем с постоянными параметрами эти коэффициенты - постоянные величины.
Используя оператор сдвига Е, уравнение (1.7.1) можно переписать в виде
(anEn + an-1En-1 +...+a1E + a0)y(k) = (bmEm + bm-1Em-1 +...+b1E + b0)v(k) (1.7.3)
Так как вход v(k) предполагается известным, правая часть уравнения (1.7.1) представляется в виде известной вынуждающей функции F(k). Для линейных систем с постоянными параметрами, коэффициенты которых являются постоянными величинами, последнее уравнение вписывается символически как
А(E)y(k)=B(E)v(k)=F(k) (1.7.4)
Разностные уравнения используются при операциях с функциями дискретного переменного. Примером систем, описываемых уравнениями в конечных разностях, служат вычислительные устройства, последовательностные цепи, системы с элементами запаздывания.