3. Линейные стационарные системы в постоянном времени

Однородное дифференциальное уравнение для линейной ста­ционарной системы записывается в векторной форме:

(2.3.1)

где А — матрица с постоянными коэффициентами размерности (пxп), вектор х — матрица-столбец (nx1), состоящая из п пе­ременных состояния x₁, х₂, ..., х_п. Подобно решению скалярных дифференциальных уравнений решение уравнения (2.3.1) пред­ставляется в виде

(2.3.2)

где матрица е^At расклады­вается в бесконечный ряд:

(2.3.3)

Матрица называется переходной матрицей состояния. системы (2.3.1). Математики предпочитают использовать термин фундаментальная матрица. Название переходная матрица состояния в определенном смысле указывает на характер ее применения; ему обычно отдают пред­почтение в инженерных кругах.

Переходная матрица состояния «описывает» движение конца вектора состояния в пространства состояний из некоторого на­чального положения, а потому описывает и изменение (переход) состояния системы. В связи с тем, что вектор х(t) описывает все функции времени x₁(t),x₂(t), ..., x_n(t), он несет в себе большую информацию. Необходимо отметить, что объем вычис­лений при определении переходной матрицы состояния обычно больше, чем при разрешении линейного дифференциального уравнения относительно зависимой переменной. Однако имею­щаяся дополнительная информация позволяет проектировщику системы управления использовать более совершенные методы проектирования.

Вычисление переходной матрицы состояния e^At может вы­полняться несколькими различными путями. Основные подходы базируются на теореме Сильвестра и методе Кэли — Гамиль­тона, рассмотренных в первой части курсовой, а также к ним принадлежат метод разложения в бесконечный ряд, метод частотной области и ме­тод передаточной функции.

Рассмотрим в качестве примера альтернативных методов нахождения матрицы состояния метод разложения в бесконечный ряд:

Степени A^k будут находиться посредством умножения матрица A саму на себя k раз.

Тогда согласно (2.3.3) равняется:

После группировки соответствующих членов и вычисления бесконечных рядов для каждого из элементов получим:

Общее решение для линейной стационарной системы

Уравне­ния состояния линейной стационарной системы задаются в об­щем виде согласно

(2.3.4)

Эти уравнения можно трактовать следующие образом. А — основная матрица системы, так как ее структура определяет характер переходной матрицы состояния. От этой матрицы за­висит характер как вынужденного, так и свободного решений. Ясно, что если все характеристические числа этой матрицы имеют отрицательные действительные части, то решение урав­нения (2.3.1) стремится к нулю при стремлении t к бесконеч­ности. Однако если одно из характеристических чисел имеет по­ложительную действительную часть, то по крайней мере одна из переменных состояния становится неограниченной при стрем­лении t к бесконечности. Если характеристические числа, лежа­щие на мнимой оси (действительная часть равна нулю), про­стые, то матрица не стремится к нулевой матрице при стремлении t к бесконечности, однако она ограничена.

В—матрица связи; структура этой матрицы определяет ха­рактер связи входа системы с различными переменными состоя­ния. С—также матрица связи — связи переменных состояния с выходом системы. Таким образом, первый член у(t) в уравне­нии (2.3.4) представляет связь переменных состояния с различ­ными составляющими вектора выхода. D — снова матрица связи, непосредственно связывающая вектор входа системы с вектором выхода. Структура этой матрицы определяет, каким образом вынуждающие функции на входе воздействуют на различные выходы. Для большинства физических систем D является нуле­вой матрицей, так что член Dv обычно равен нулю.

Общее решение х(t) и у(t) уравнения (2.3.4) можно полу­чить различными методами. С целью иллюстрации используем здесь метод вариации параметров. Для получения общего реше­ния в случае нестационарных систем ниже используется метод сопряженных систем.

Однородное дифференциальное уравнение согласно (2.3.2) имеет решение для . Частное решение по аналогии со скалярными дифференциальными уравнениями имеет вид . Общее решение равно:

(2.3.5)

где - постоянная величина, а z(t) – вектор, который следует определить.

Поставим (2.3.5) в (2.3.4), получим:

(2.3.6)

Интегрирование (2.3.6) запишем в виде

Из уравнения (2.3.5) имеем:

Учитывая и умножая обе части слева на окончательно получим:

(2.3.7)

Из подстановки (2.3.7) в (2.3.4) следует:

(2.3.8)

Таким образом уравнения (2.3.7) и (2.3.8) образуют решение системы (2.3.4).

В заключение данного раздела запишем некоторые свойства переходной матрицы :

1.

2. Переходная матрица обладает групповым свойством

3.