2.2 Наблюдаемость и управляемость. Передаточные функции.

Возросший интерес к линейным многосвязным системам правления привел к полному пересмотру «интуитивных» представлений, порожденных ранними исследованиями систем с одним входом и выходом. Это связано со значительными трудностями в проектировании, возникающими при переходе от систем одной регулируемой величиной к многосвязным.

Управляемость

Система называется полностью управляемой, если воздействуя на эту систему на интервале времени (t₁, t₂) систему можно перевести из x(t₀) в x_{конечное}(_t).

Рассмотрим систему уравнений:

, (2.2.1)

y(t) = Cx(t) + Dv(t)

Предполагается, что эта система имеет п переменных состояния, т входов и р выходов, а также, что ее характеристические числа известны и все они разные. Используя линейное преобразование и умножив систему (2.2.1) слева на M^-1 приведем (2.2.1) к виду:

где . Учтем, что , тогда (2.2.1) будет приведена к так называемой нормальной форме.

Если все строки не равны нулю, то тогда и только тогда возможна полная управляемость (2.2.1). В противном случае одна или несколько частот системы окажутся неуправляемыми.

Наблюдаемость

Система (2.2.1) называется полностью наблюдаемой, если наблюдая в течение интервала времени (t₀, t) можно восстановить x(t₀).

Приведем систему (2.2.1) к нормальной форме:

Очевидно, что система будет полностью наблюдаема только в том случае, если все строки не равны нулю.

Вообще говоря, всегда можно выделить четыре подсистемы, проявляющие определяемые приведенными понятиями свойства:

Система S*: полностью управляемая и полностью наблю­даемая.

Система S^c: полностью управляемая и ненаблюдаемая.

Система S⁰: неуправляемая, но полностью наблюдаемая.

Система S^f: неуправляемая и ненаблюдаемая.

Чтобы система была полностью наблюдаемой и управляемой необходимо, чтобы эта система состояла только из подсистем S*

Передаточные функции

Для линейной систе­мы, не содержащей начальной энергии, существует непосред­ственная взаимосвязь между входом v(t) и выходом y(t). Характеристику (или «передаточную функцию») системы с по­стоянными параметрами определяют как отношение преобразо­вания Лапласа выходной величины к соответствующему преоб­разованию входной величины при нулевых начальных условиях:

Для. систем, имеющих больше одной входной или выходной величины, представляют интерес передаточные функции между различными входами и выходами. Понятие передаточной функции легко распростра­няется на этот более общий случай. Передаточная функция H_ij(s), являющаяся передаточной функцией между j-м входом и i-м выходом, определяется посредством

Таблица из элементов H_ij(s), где первый индекс i обозначает строку, а второй индекс j обозначает столбец, называется пере­даточной матричной функцией

Приведем пример: Система с двумя входами и двумя выходами описы­вается дифференциальными уравнениями:

Найдем передаточную функцию этой системы. Применение преобразования к обоим уравнениям, предполагая нулевыми начальные условия, дает

Тогда передаточная функция H(s) равна: