Аналогично утверждение доказывается и для столбцов.◄

Теорема 2.2. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

►Для первого элементарного преобразования утверждение, очевидно, выполняется, так как ранг матрицы зависит от того, будет ли минор равен нулю или нет. А это свойство минора не изменится при умножении строки или столбца на число, отличное от нуля. Если утверждение справедливо для второго преобразования, то его справедливость для третьего вытекает из доказанной леммы.

Доказательство проведем для строк матрицы А (для столбцов оно будет аналогичным). Обозначим матрицу, полученную из прибавлением к i-й строке k-й строки, умноженной на число .

.

Пусть . Надо доказать, что и . Разобьем доказательство на две части.

1. Покажем, что матрица имеет отличный от нуля минор r-го порядка.

а) Матрица А имеет отличный от нуля минор r-го порядка, не содержащий i-й строки. Этот же минор является и минором матрицы .

б) Все миноры r-го порядка матрицы А, не содержащие i-й строки, равны нулю. Пусть – отличный от нуля минор r-го порядка матрицы А. Рассмотрим минор матрицы , расположенный в тех же строках и столбцах.

(2.5)

(волна указывает, что эти строки короче, они содержат только те элементы, которые принадлежат выделенным столбцам). В равенстве (2.5) определитель равен нулю, так как при , это минор матрицы А, не содержащий i-й строки, а при , это определитель, имеющий две одинаковые строки. Таким образом, .

2. Покажем, что все миноры (r+1)-го порядка матрицы равны нулю.

а) Минор (r + 1)-го порядка матрицы не содержит i-й строки. Он является одновременно и минором матрицы А, а значит, равен нулю.

б) Минор (r + 1)-го порядка матрицы содержит i-ю строку. Тогда

. (2.6)

В равенстве (2.6) – минор (r + 1)-го порядка матрицы А и поэтому равен нулю. Что касается определителя , то при он содержит две одинаковые строки, а при - это минор (r + 1)-го порядка матрицы А, а значит, в обоих случаях = 0.◄

Свойства ранга матрицы

1°. Ранг матрицы не превосходит ни количества ее строк, ни количества столбцов.

2°. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

3°. Если rang A = 0, то A – нулевая матрица.

4°. Если у матрицы вычеркнуть столбец или строку, полностью состоящую из нулей, то ее ранг при этом не изменится.

5°. Если у матрицы вычеркнуть одну из двух пропорциональных строк (столбцов), то ее ранг при этом не изменится.

6°. Ранг произведения матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей. При этом если один из сомножителей – невырожденная матрица, то ранг произведения равен рангу второго сомножителя.

Первые четыре свойства очевидны, пятое вытекает из доказанной теоремы, а шестое мы докажем позже, в четвертой главе.

§ 3. Теорема о базисном миноре

Определение. Строки матрицы А

(2.7)

называются линейно зависимыми, если существуют числа , не все равные нулю такие, что

. (2.8)

Строки (2.7) называются линейно независимыми, если равенство (2.8) выполняется только в том случае, когда .

Аналогично формулируется определение линейной зависимости и независимости для столбцов матрицы (позднее мы введем понятия линейной зависимости и независимости в общем случае).

Определение. Базисным минором матрицы называется любой отличный от нуля ее минор, порядок которого равен рангу этой матрицы. Строки (столбцы), проходящие через базисный минор, называются базисными.

Теорема 2.3 (о базисном миноре). Справедливы следующие утверждения:

1) базисные строки (столбцы) матрицы линейно независимы;

2) каждая из небазисных строк (столбцов) может быть представлена в виде линейной комбинации базисных.

►Пусть . Без ограничения общности можно считать, что базисный минор матрицы расположен в ее левом верхнем углу. Если это не так, то с помощью перестановок строк и столбцов, которые не меняют ранга матрицы, его можно переместить в левый верхний угол. Тогда матрица А будет выглядеть так:

.

Обозначим М ее базисный минор, М ≠ 0. Приступаем непосредственно к доказательству.

1. Для доказательства линейной независимости строк

(2.9)

составляем их линейную комбинацию и приравниваем ее нулевой строке:

. (2.10)

Матрицы равны в том и только в том случае, когда равны их соответствующие элементы. Приравнивая нулю первые r элементов матрицы-строки из левой части равенства (2.10), получаем следующую систему:

(2.11)

Конечно, мы могли бы приравнять нулю и все остальные элементы матрицы, но в этом, как вы увидите, нет никакой необходимости.

Система (2.11) – система линейных уравнений относительно , в которой число уравнений равно числу неизвестных и определитель которой совпадает с базисным минором, значит, отличен от нуля. По правилу Крамера эта система имеет единственное решение (то, что это решение, проверяется непосредственной подстановкой). Таким образом, система строк (2.9) – линейно независима.

2. Нужно доказать, что при всех строка может быть представлена в виде , что равносильно следующему:

, : . (2.12)

К базисным строкам и столбцам добавим одну из небазисных строк и произвольный столбец и рассмотрим полученный определитель:

.

При всех и определитель = 0 так как при он содержит два одинаковых столбца, а при – это минор (r+1)-го порядка матрицы А. Разложив по последнему столбцу, получаем

. (2.13)

Так как , то из (2.13) можно выразить :

. (2.14)

При вычислении алгебраических дополнений к элементам последнего столбца дописанный j-й столбец вычеркивается, значит, алгебраические дополнения зависят от k, но никак не могут зависеть от j. Поэтому, полагая , из (2.14) получаем (2.12).◄

Теорема 2.4 (о линейной независимости строк и столбцов). Для того чтобы строки (столбцы) матрицы были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы ее ранг равнялся количеству строк (столбцов).

►Доказательство проводим для строк матрицы (для столбцов оно будет аналогичным).

Необходимость. Дано: строки матрицы линейно независимы. Пусть . Предположим, что базисный минор матрицы расположен в ее левом верхнем углу. Тогда первые r ее строк линейно независимы, а каждая из оставшихся строк, в том числе и (r +1)-я, может быть через них выражена, т. е. . Положим

при при . (2.15)

Среди чисел (2.15) есть отличные от нуля, и

.

Таким образом, строки матрицы линейно зависимы, и мы пришли к противоречию. Следовательно, предположение неверно и .

Достаточность. Дано: . Базисный минор имеет m-й порядок, а значит, все строки являются базисными и поэтому линейно независимы.◄

Следствия.

1. Для того чтобы строки (столбцы) матрицы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы ее ранг был меньше количества строк (столбцов).

2. Для того чтобы строки (столбцы) определителя были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы он был отличен от 0.

►{строки линейно независимы} ◄

3. Для того чтобы строки (столбцы) определителя были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы он был равен 0.