§ 4. Критерий совместности системы линейных уравнений
Теорема
2.5 (Кронекера – Капелли
или
критерий
совместности системы линейных
уравнений).
Для того чтобы система линейных уравнений
была совместной, необходимо и достаточно,
чтобы ранг матрицы системы равнялся
рангу расширенной матрицы
.
►Пусть задана система линейных уравнений
(2.16)
с
матрицей А.
Будем обозначать
j-й
столбец матрицы А.
Система (2.16) может быть записана следующим
образом:
(2.17)
Необходимость.
Дано: система совместна. Следовательно,
существует упорядоченный набор чисел
такой, что
Получаем:
[прибавляем
к последнему столбцу
]
Достаточность.
Дано:
.
Предположим, что базисный минор матрицы
A расположен
в первых r
столбцах. Этот
же минор
является базисным и для матрицы Ã:
он отличен от нуля и его порядок равен
r.
По теореме о базисном миноре r
первых столбцов матрицы Ã
линейно независимы, а остальные, в том
числе и В,
можно через них выразить, т. е. существует
такой упорядоченный набор чисел
,
что
.
Итак, упорядоченный набор
удовлетворяет уравнению (2.17),
значит, является решением системы
(2.16).◄
§ 5. Однородные системы линейных уравнений
Определение. Система линейных уравнений называется однородной, если во всех ее уравнениях свободные члены равны нулю:
Часто удобно использовать и матричную запись:
АХ = О. (2.18)
Однородная
система всегда совместна, она имеет, по
крайней мере, решение
,
которое называется тривиальным.
Исследуем возможность существования
других решений. Предположим, что
и что ее базисный минор расположен в
левом верхнем углу. Тогда можно отбросить
последних линейно зависимых уравнений.
Неизвестные, коэффициенты при которых
образуют базисный минор, называют
базисными
неизвестными, а остальные – свободными.
Преобразуем систему следующим образом:
базисные неизвестные оставим в левой
части, а свободные перенесем направо.
Получим систему уравнений, равносильную
исходной:
(2.19)
Рассмотрим различные случаи.
1.
Если
,
то в системе (2.19) число уравнений равно
числу неизвестных, ее определитель
совпадает с базисным минором и поэтому
отличен от 0. Значит, по правилу Крамера
система (2.19) имеет единственное решение,
которое является тривиальным.
2.
Пусть
.
Придадим свободным неизвестным какие-либо
значения
.
Подставляя их в (2.19), получаем систему
крамеровского типа:
(2.20)
Она
имеет единственное решение
.
Тогда упорядоченный набор
– решение системы (2.19) и исходной
системы. Так как свободным неизвестным
можно придать значения бесконечным
числом способов, то при условии
однородная система линейных уравнений
имеет бесконечное множество решений.
Вывод. Для того чтобы однородная система линейных уравнений имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был меньше количества неизвестных. В частности, если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то для существования нетривиальных решений необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю.
.