§ 7. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
Теорема 2.7. С помощью элементарных преобразований только над строками и перестановки столбцов любая ненулевая матрица может быть приведена к простейшему виду, т. е. к виду, когда в ее левом верхнем углу находится единичная матрица, а последние строки полностью состоят из нулей.
►Пусть задана ненулевая матрица
(верхний
индекс будет обозначать номер шага).
Предположим, например, что
.
Если это не так, выберем какой-либо
отличный от нуля элемент, назовем его
опорным
(или
разрешающим),
и с помощью перестановки строк и столбцов
переместим этот элемент в левый верхний
угол. Разделив первую строку матрицы А
на
,
получим матрицу
,
которую,
в свою очередь, преобразуем так: к i-й
строке прибавим первую, умноженную на
.
Тогда матрица
перейдет в следующую:
,
где
– некоторые числа. Если какая-либо из
строк матрицы
полностью состоит из нулей, мы ее
переставим на последнее место.
Выберем
теперь среди чисел
,
отличное от нуля и переместим его опять
же с помощью перестановки строк и
столбцов во вторую строку и второй
столбец. Теперь
,
и мы можем разделить на него вторую
строку. Получаем новую матрицу
,
строки
которой, в том числе и первую, преобразуем
так: к i-й
строке прибавляем вторую, умноженную
на
.
Тогда
переходит в следующую матрицу:
.
Теперь
выбираем отличный от нуля элемент в
последних
-х
строках, переставляем его в третью
строку и третий столбец, и процесс
повторяем. Преобразования продолжаем
до тех пор, пока не окажется, что все
последние строки состоят из одних нулей.
Полученная матрица и будет матрицей
простейшего вида.◄
Замечание. На самом деле перестановкой столбцов мы заниматься не будем. Базисный минор вовсе не обязательно перемещать в первые столбцы и приводить к виду единичной матрицы, достаточно, чтобы в каждом из его столбцов был единственный отличный от нуля элемент. Кроме того, чтобы избежать дробей, строчки также не будем делить на опорный элемент. При переходе от каждой матрицы к следующей поступаем так:
а)
выбираем опорный элемент
в тех строках и столбцах, которые опорными
еще не были;
б) опорную строку оставляем без изменений, опорный столбец дополняем нулями;
в) предыдущие опорные столбцы умножаем на новый опорный элемент;
г) остальные элементы пересчитываем по правилу прямоугольника:
,
т. е. как определитель второго порядка,
у которого главной является диагональ,
содержащая опорный элемент.
Правило решения системы линейных уравнений
1.
Вычисляем одновременно ранг матрицы
системы и ранг расширенной матрицы,
приводя матрицу А
с помощью элементарных преобразований
строк матрицы
к простейшему виду. При этом получаем
матрицу системы, равносильной исходной.
Если
,
то система решений не имеет.
2.
Если
,
то система имеет единственное решение,
которое получается сразу же, как только
мы запишем систему по последней матрице.
3.
Если
,
то последние
уравнений можно отбросить (они имеют
вид 0 = 0), и
перейдет в матрицу
.
Ее
базисный минор расположен в первых
столбцах, поэтому базисными будут первые
неизвестных. Выписывая по полученной
матрице систему и выражая все неизвестные
через свободные, находим общее решение.
Пример. Решим методом Гаусса систему линейных уравнений
▼ Составляем расширенную матрицу и приводим ее к простейшему виду методом опорного элемента. При этом всякий раз получаем матрицу системы, равносильной исходной. Поэтому между матрицами можно ставить знак равносильности. Опорный элемент будем подчеркивать двойной чертой.
.
Базисный
минор можно выбрать, например, в первом,
третьем и четвертом столбцах. Тогда
базисными будут неизвестные
,
а свободным –
и
.
По последней матрице выписываем систему,
причем свободные неизвестные переносим
направо:
Общее решение выглядит так:
.▲