- •Глава 2. Системы линейных уравнений
- •§ 1. Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •§ 2. Ранг матрицы
- •Аналогично утверждение доказывается и для столбцов.◄
- •Свойства ранга матрицы
- •§ 3. Теорема о базисном миноре
- •§ 4. Критерий совместности системы линейных уравнений
- •§ 5. Однородные системы линейных уравнений
- •Свойства решений однородной системы линейных уравнений
- •§ 6. Неоднородные системы линейных уравнений
- •§ 7. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
- •Правило решения системы линейных уравнений
- •§ 8. Еще раз об обратной матрице
§ 8. Еще раз об обратной матрице
Если квадратная матрица имеет второй или третий порядок, то обратную к ней найти очень просто. Это можно сделать практически устно, используя алгебраические дополнения. Если же матрица имеет более высокий порядок, то алгебраические дополнения устно считать уже затруднительно, да и количество их растет. Например, для вычисления обратной к матрице четвертого порядка надо найти один определитель четвертого порядка и 16 определителей третьего. Разберем сейчас ещё один способ вычисления обратной матрицы.
Пусть – невырожденная квадратная матрица -го порядка. Обратную к ней можно найти как решение матричного уравнения
. (2.26)
Обозначим -й столбец матрицы , – - столбец матрицы , . Тогда уравнение (2.26) можно преобразовать так:
{(2.26)} { } { } { }.
Таким образом, матричное уравнение (2.26) равносильно системе
(2.27)
состоящей из систем линейных уравнений с одной и той же невырожденной матрицей . Каждую из этих систем можно решить методом Гаусса, приводя элементарными преобразованиями над строками (или методом опорного элемента) матрицу к единичной (столбец при этом переходит в некоторый столбец ):
{ } { } { }.
Тогда .
Так как в (2.27) все системы имеют одну и ту же матрицу, то нет необходимости преобразовывать отдельно расширенную матрицу каждой из этих систем, а можно это сделать вместе, записав матрицу и преобразовывая сразу и матрицу , и все столбцы .
Из вышесказанного вытекает правило нахождения обратной матрицы: записываем расширенную матрицу и, применяя элементарные преобразования только к строкам, приводим матрицу к единичной. При этом матрица приводится к : .
Пример. С помощью элементарных преобразований найдем обратную к матрице
.
▼
.
Таким образом,
.▲