- •1.Случайные события. Действия над событиями.
- •2.Классическое определение вероятности и ее свойства.
- •3.Аксиоматическое определение вероятности.
- •4. Формулы комбинаторики. Гипергеометрическое распределение.
- •5. Условная вероятность. Независимость событий.
- •6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •7. Схема независимых испытаний Бернулли.
- •8. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •9. Функция распределения вероятностей и её свойства.
- •10. Плотность распределения вероятностей и её свойства.
- •11. Математическое ожидание и его свойства.
- •12. Дисперсия и ее свойства.
- •13. Коэффициент корреляции и ковариация.
- •14. Моменты
- •15. Основные дискретные распределения случайных величин.
- •16. Равномерное и показательное распределение.
- •17. Нормальное распределение.
- •18. Двумерная функция распределения и ее свойства.
- •19. Двумерная плотность вероятности и ее свойства.
- •20. Независимость случайных величин
- •21. Условный закон распределения.
- •22. Неравенство Чебышева. Сходимость случайных последовательностей.
- •23.Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
- •24. Центральная предельная теорема.
- •25. Выборочный метод.
- •26. Эмпирическая функция распределения.
- •27. Гистограмма и полигон.
- •28. Числовые характеристики выборки.
- •29. Точечное оценивание.
- •33. Распределение , Стьюдента и Фишера.
- •1. Распределение (хи-квадрат).
- •Распределение Фишера.
- •34 Проверка статистических гипотез.
- •36. Критерий согласия Пирсона.
- •38. Сравнение дисперсий двух нормальных выборок.
- •39.Сравнение средних двух нормальных выборок.
- •40. Дисперсионный анализ.
- •41. Парная регрессия.
- •42. Парный коэффициент корреляции, его свойства.
- •43. Проверка гипотез о достоверности коэффициента корреляции.
- •44. Нелинейная парная регрессия
38. Сравнение дисперсий двух нормальных выборок.
Рассмотрим несколько критериев однородности. Пусть имеется 2 выборки X и Y объемами n1 и n2 и пусть ставится задача сравнить их функции распределения.H0:F1(x)=F2(x)
Такого рода задания часто называют выявлением отклика на воздействия. Например, Наиболее хорошо разработанными являются методы выявления однородности для нормально распределенных выборок. Если выборки распределены нормально, то выявление однородности сводится к сравнению параметров а иσ. Эти методы называются параметрическими. Если о распределении изучаемых выборок ничего нельзя сказать, то применяются непараметрические методы, где не учитываются исходные количественные данные, а только уравнение <,>.
Пусть выборки X и Y распределены нормально с параметрами а1и σ1 ; а2 σ2соответсвенно.X~N(а1,σ 1), Y~N(а2,σ 2).
Гипотеза H0 будет справедлива, если будут равны параметры а1= а2; σ1=σ2
Сравним сначала дисперсии этих выборок H0: σ21=σ22
Несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии является исправленная выборочная дисперсия.
Следующая гипотеза H0: S21=S22
Сравнение дисперсий всегда осуществляется путем вычисления их отношения. Можно показать, что при H0 эта случайная величина имеет распределение Фишера с k1 и k2 числом степеней свободы.
F= ~F(k1,k2) Причем k1=n1-1, k2=n2-1, S21>S22
Пусть H1: S21>S22, т.е. правосторонняя критическая область. Fk(Kкр)=1-α
Проверка H0 осуществляется следующим образом:
Вычисляется наблюдаемое значение критерия,
Выбирается уровень значимости αи по таблице критических точек распределения Фишера находят Fкр(α,k1,k2)
Если Fнабл> Fкр , то H0 отвергаем и принимаем конкурирующую.
2. Пусть H1: S21 S22 -. двусторонняя критическая область.
В этом случае поступают аналогично, только Fкр(α/2,k1,k2)
39.Сравнение средних двух нормальных выборок.
Критерий Стьюдента.Пусть имеется 2 выборки с объемами n1 и n2, распределенные по нормальному закону. X~N(а1, 1), Y~N(а2, 2).
Проверим гипотезу H0 о равенстве матожиданий.H0:a1=a2; H0:a1 a2. Несмещенной состоятельной оценкой матожидания является выборочная средняя. H0:
Поэтому H0 можно сформулировать, что средние равны.
Средние сравниваются путем вычисления их разности и построения случайных величин T= , ) – ошибка разности средних.
В данной задаче можно представить 4 случая:1. и известны.2. и известны.3. и неизвестны.4. и неизвестны.
T= ,
В этом случае случайная величина T имеет стандартное нормальное распределение.T~N(0,1)
T= ~N(0,1)
Тогда проверка H0 осуществляется следующим образом: вычисляются наблюдаемое значение критерия, по таблице нормального распределения находят Zкр( ). Если |Tнабл|> Zкр( ), то H0 отвергаем и принимаем конкуренцию, следовательно средние значения в группах различаются равномерно (есть отклик на воздействие).
Если неизвестно, то вместо них нужно подставить оценки
=
Наблюдаемое значение критерия T= .
В этом случае случайная величина T имеет распределение Стьюдента с (n1+n2-2) числом степеней свободы. Tn~T(n1+n2-2). Проверка гипотезы осуществляется с использованием таблиц распределения Стьюдента по выбранному уровню значимости и числу степеней свободы (n1+n2-2). T кр( , n1+n2-2). Если |Tн|>|Tкр|, то H0 отвергаем и принимает конкурирующую гипотезу, следовательно средние в группах различаются достоверно.Замечание 1. Критерий Стьюдента применяется, когда n>30.Замечание 2. Критерий Стьюдента является устойчивым к нарушению нормального распределения изучаемых выборок. В этом случае необходимо только иметь запас уровня значимости.Если бы мы могли отвергнуть H0 при =0.001, то можно согласиться со след выводами (есть отклик на воздействие).4.В этом случае наблюдаемое значение критерия вычисляется по той же ф-ле, что и в п 3, однако точное распределение этой случ вел-ны указать нельзя. Можно лишь сказать, что при n1, n2 эта случ вел-на будет стремиться к распр-ию Стьюдента с числом степеней свободы
K= ( )2/ -