44. Нелинейная парная регрессия

В случае линейной зависимости применение метода наименьших квадратов (МНК) приводит к решению линейной алгебраической системы относительно и , она имеет единственное решение. Кроме этого, оценки коэффициентов и являются несмещенными, самостоятельными и эффективными.

В случае нелинейной зависимости применение МНК приводит к решению нелинейной системы, которая в общем случае не имеет решения в известных аналитических функциях, тогда применяются приближенные методы для вычисления оцениваемых коэффициентов.

1. Пусть . Обозначим ,тогда получим множественную линейную модель .

2. Обратнопропорциональная зависимость . , .

3. Степенная модель

, , , , , . .

4. Показательная , , , , ,

Типичные задачи с нелинейной зависимостью:

1.Полиномеальные. Реально строятся полиномы (многочлены) для 2 и 3 степени, для больших степеней модели невозможно использовать для прогноза, т.к. .

2. Обратнопропорциональные.

Типичные задачи: взаимосвязь между ростом з/п и темпами инфляции, з/п-й раб-в физ-го труда и возрастом.

критерий Манна — Уитни—Пусть F(x)- функция распределения X и G(y ) - функция распределения Y . Проверим нулевую гипотезу о равенстве этих функций распределения при конкурирующей гипотезе, что

они не равны между собой:

H 0 : F (x) G(y ) , H 1 :F (x) ≠G(y ) . (1)

Предположим далее, что выборки X и Y независимы и имеют объем n и m .

Ну и если нулевая гипотеза принимается, то говорят, что нет отклика на воздействие. Если принимается альтернативная гипотеза, то говорят, что есть отклик на воздействие.

Для проверки нулевой гипотезы в таких случаях часто используются ранговые критерии. Рассмотрим один из них – критерий Манна-Уитни.

Ранговые критерии не используют исходные количественные данные, они

Основываются на понятии «больше-меньше». Вместо исходных данных берутся их ранги – номера наблюдений в вариационном ряду, полученном

После упорядочения объединенной выборки объемом N n +m . Номер,

Который получит наблюдение xi в упорядоченной выборке, называется

Его рангом и обозначается Ri,n , номер, который получит наблюдение y j -R j ,m

Далее вычисляется сумма рангов первой и второй выборки:

S1= ∑ R i n , иS2 = ∑ R j m , .

Для построения критерия Манна-Уитни используется меньшее

Значение суммы рангов:

S min{S ,S }.

Статистика Манна-Уитни имеет вид:

При справедливости нулевой гипотезы математические ожидания и дисперсии случайных величин будут иметь вид:

1 1

При

распределение U

сходится к нормальному со средним и дисперсией, определенных из

соотношений

Эта сходимость настолько быстрая, что уже при n,m >8 может

Применяться нормальная аппроксимация:

Известно, что при уровне значимости α 0,05 критическое значение

Нормального распределения zкр. ≈2 . Тогда, если модуль наблюдаемого

Значения критерия, вычисленного по формуле , превышает 2, можем сделать вывод о том, что функции распределения F (x) и G(y ) различаются

достоверно (естьоткликнавоздействие).

Замечание. Если среди исходных данных xij есть совпадения, то при

Переходе к рангам им присваивается средний ранг.