40. Дисперсионный анализ.

Часто возникает задача в ср-и законов нормального распределения в m группах H₀:F₁(x)=…=F_m(x). Например, поступило задание сравнить успеваемость студентов 4 специальностей. Сравнение основывается на вычислении дисперсий. Сравнивают дисперсии, обусловленные влиянием факторов, и дисперсий, обусловленных влиянием случайных величин. Поэтому называется дисперсионный анализ. Если 1 дисперсия достоверно больше 2 дисперсии, то делают вывод о различии функции распределения в группах.

Рассмотрим сначала однофакторный дискретный анализ, т.е. имеется m групп однородных объектов и изучается влияние на них одного фактора. Например, изучаемый признак – успеваемость, а фактор специальность.

Предположим, что каждая группа имеет нормальное распределение X_i~N(0,1), i= _. Тогда нулевую гипотезу формулируют так H0:a1=…am

Т.к. несмещенной остается ошибкой мат ожидания выборочной средней, то

При конкурирующей гипотезе H₁ не все средние равны между собой.Пусть объемы в группах одинаковы

Средние сравнивают между собой. Пусть специальность не влияет на успеваемость.

; ; -общая средняя.Разложим общую сумму квадратов отклонений на факторную и остаточную

-остаточная сумма квадратов отклонений, она обусловлена влиянием случайных величин. Характеризует рассеяние внутри группы. -факторная сумма квадратов отклонений. Характеризует рассеяние между группами.

Т.о. _. Построим дисперсию по каждой из этих сумм

Для сравнения факторных и остаточных дисперсий построим их математического ожидания.

Для справедливости H₀ F=0 и чем больше F значение отличное от нуля, тем больше факторная дисперсия. Проверка H₀ осуществляется следующим образом:

1. Вычисляем наблюдаемое значение критерия

2. По таблице критических точек распределения Фишера по выбранному уровню значимости и числу степеней свободы (m-1) и (mn-m) находим Fкр.

3. если F_набл < Fкр., то говорят, что нет основания отвергнуть H₀. Следовательно средние в группах различаются недостоверно (случайно). – нет отклика на воздействие. если F_набл > Fкр., то H₀ . отвергается и принимается H₁ , следовательно средние в группах различаются достоверно. – есть отклик на воздействие.

Замечание 1. Если F_набл <1, то сразу H₀ принимается.

Замечание 2. Пусть объемы в группах неодинаковы. Значит число степеней свободы остаточной дисперсии N-m.

Замечание 3. Если H₀ отвергается, то не все средние в группах равны между собой. При этом часто интересует в каких именно группах есть различия. Если число m невелико, то это можно установить с помощью критерия Стьюдента, сделав C попарных сравнений средних. В стандартных компьютерных программах реализовано процедура попарного сравнения. Если выборочные данные X_i не соответствуют нормальному распределению, то применение дисперсионного анализа может привести к ошибочным выводам. В этом случае необходимо применить непараметрический дисперсионный анализ.