9. Функция распределения вероятностей и её свойства.

Одним из основных понятий теории вероятностей является случайная величина. Случайные величины бывают дискретные, непрерывные и другие. Для того, чтобы одинаковым способом характеризовать случайные величины различной природы вводится понятие функции распределения вероятностей.

Пусть - случайная величина и - произвольное действительное число. Вероятность того, что примет значение, меньшее, чем х, называется функцией распределения вероятностей: .

Случайной наз. величина, значения которой зависят от случая и для которой определена функция распределения вероятностей. Дискретной наз.случайная величина, которая принимает конечное или счетное множество значений. Под счетным множеством понимается множество натуральных чисел (чисел употребляемых при счете).

Счетное множество значений можно пронумеровать:

Для полной вероятностной характеристики дискретной случайной величины необходимо знать ее закон распределения. Пусть – возможные значения случайной величины , - вероятности этих значений.

Множество пар , i =1,2,… называется законом распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Обычно закон распределения изображается в виде таблицы:

Непрерывной называется случайная величина, значения которой заполняют сплошь некоторые промежутки.

Функция распределения вероятностей является неслучайной функцией, вычисленной на основании закона распределения случайной величины.

Свойства функции распределения:

1. , 0 , т.к. это вероятность.

2. – неубывающая функция.

.Следствия:

2.1. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал есть приращение функции распределения на этом интервале:

2.2. Вероятность принять одно фиксированное значение для непрерывной случайной величины равна нулю.

, при

т.к. функция распределения непрерывной случайной величины непрерывна.

2.3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в открытый или замкнутый промежуток одинакова:

Докажем последнее равенство

3. непрерывна слева в каждой точке (см. рис.7.1).

4. 5. .

10. Плотность распределения вероятностей и её свойства.

Пусть функция распределения F_ξ(x) случайной величины ξ имеет производную.

Плотностью распределения вероятностей случайной величины называется производная функции распределения: .

Свойства:

1. , , т. к. это производная неубывающей функции.

2. , т.к. .

3. . Следует из определения и свойства 2.

4. Свойство нормировки: .

В частности, если все возможные значения случайной величины заключены в интервале от a до b, то .

Случайная величина называется распределенной по равномерному закону, если ее плотность вероятности принимает постоянное значение в пределах заданного интервала.

11. Математическое ожидание и его свойства.

Для ТВ и ее приложений большую роль играют некоторые неслучайные числа, вычисленные на основании законов распределения случайных величин.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины с законом распределения называется сумма ряда

, если этот ряд сходится абсолютно.

Замечание:

Если математическое ожидание равно бесконечности, то говорят, что оно не существует.

характеризует среднее значение случайной величины, взвешенное по вероятности.

Мат ожид непрерывной СВ с плотностью вероятности называется интеграл =

если он сходится абсолютно.

Свойства мат. ожидания

1. .

2. М суммы СВ равно сумме их мат. ожиданий: .

3. Для независимых СВ и мат. ожид.произведения равно произведению мат. ожид.

= .

Следовательно, если а =const.