3.Аксиоматическое определение вероятности.

Рассмотрим некоторое подмножество событий F, причем операции сложения, умножения и вычитания не выводят из F. Числовая функция P:F→R называется вероятностью, если вы­полнены следующие три аксиомы:

Аксиома 1. Каждому случайному событию А из F ставится в соответствие неотрицательное число, называемое вероятностью события Р(А).

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна 1.

P(Ω) = 1

Аксиома 3 (аксиома сложения). Если А и В несовместные события из F, т.е. АВ = Ø, то

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Эта аксиома легко обобщается с помощью сочетательного свойства сложения на любое число событий. Если A_lA_j =Ø при j ≠i, то

Т.е. вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Эту аксиому называют теоремой сложения или правилом вероятностей.

4. Формулы комбинаторики. Гипергеометрическое распределение.

При подсчёта чисел m и n в ТВ используют формулы комбинаторики.

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам, в частности о подсчете числа комбинаций, получаемых из элементов заданного конечного множества.

Пусть заданно множество, состоящее из n различных элементов.

Перестановками называются комбинации одних и тех же элементов, которые отличаются только порядком их расположения. Число перестановок из n элементов вычисляется по формуле:

Пример: сколькими способами можно рассадить 8 человек по восьми вагонам, если в каждый вагон сядет по одному человеку.

n=P₈ =8!=40320

Размещениями называются комбинации, составленные из n элементов по m, которые различаются либо составом элементов, либо их расположением. Число размещений из n элементов по m вычисляется по формуле: .

Пример Кодовый замок составлен из 5 цифр. Сколько способов может быть для составления код, если все цифры разные.

Сочетанием называется комбинации, из n элементов по m, которые различаются только составом элементов. Число сочетаний из n элементов по m вычисляется по формуле:

Свойства сочетаний:

1. 

2. 

Урновая схема. Пусть в урне имеется N шаров, среди которых М белых, а остальные черные. Наудачу вытащили k шаров, найти вероятность того, что среди них l белых.

- формула гипергеометрического распределения.

5. Условная вероятность. Независимость событий.

Часто интересует вероятность того, что произойдёт событие А при условии, что некоторое событие В уже произошло. Такую вероятность называют условной и обозначают P(A/B).

Условной вероятностью события А при условии, что событие В уже произошло, называется отношение

. (1)

Аналогично, условной вероятностью события B при условии, что событие A уже произошло, называется

. (2)

Из формул (1) и (2) получим теорему умножения: (3)

Вероятность произведения двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность второго, при условии, что первое уже произошло.

Распространим теорему умножения на конечное число событий:

Вероятность совместного появления нескольких произвольных событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже произошли:

События А и В называются независимыми, если вероятность произведения равна произведению вероятности этих событий. . (4)

Из (3) и (4) получим: .

Следовательно, для независимых событий условная и безусловная вероятности совпадают .

Для конечного числа независимых событий вероятность произведения равна произведению вероятностей каждого из событий: .