15. Основные дискретные распределения случайных величин.

1. Биноминальное распределение. Рассмотрим схему Бернулли. Производится последовательность n независимых испытаний в каждом из которых возможно только 2 исхода: событие А появилось с вероятностью p и событие А не появилось с вероятностью q, т.е.

P(A)=p P( )=q p+q=1

возможное распределение этой величины. Вероятность этих значений вычисляется по формуле Бернулли. . (1)

Закон распределения случайной величины, определяется по формуле (1), называется биноминальным.

, где -число появлений события в i-ом (одном) испытании.

Закон распределения

	0	1
P	q	p

Мат. ожид.: М =0*q+1*p=p ; M =np

Чтобы найти дисперсию M ₂=0²*q+1²*p=p, D = M _2- (M )²=p-p²=p(1-p)=pq

Так как дисперсии независимы D =npq с корня кв.

2. Распределением Пуассона называется распределение вероятностей дискретной сл. величины, определяемое формулой

.

- параметр распределения Пуассона.

Характерным свойством распределения Пуассона является равенство матожидания и дисперсии:

.

3. Геометрическое распределение. Производится последовательность независимых испытаний, в каждом из которых только 2 исхода:

P(A)=p P( )=q p+q=1

Испытание производится до появления события А.

Возможные значения сл.величины =0,1,...,m,…,

вероятности этих значений определяются по формуле

(1)

Геометрическим распределением называется распределение дискретной случайной величины , определяемое формулой (1).

Геом. распред. имеет один параметр p.

Мат. ожид. и дисперсия этой случайной величины:

D

Название геометрическое распределение связано с тем, что вероятности образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем .

16. Равномерное и показательное распределение.

Равномерное распределение.

Плотность распределения:

Функция распределения:

Равномерное распределение имеет два параметра а и b

Матожидание и дисперсия:

, .

Показательным, называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

Функция распределения:

, ,

Характерное свойство показательного распределения: матожидание равно среднеквадратическому отклонению: .

Показательный закон распределения вероятностей встречается в задачах, где в качестве случайной величины рассматривается интервал времени между последовательно появляющимися событиями. Например, интервал времени между появлением автомобилей на дороге.

17. Нормальное распределение.

Нормальным (распределением Гаусса) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью.

.

Нормальное распределение определятся 2 параметрами а и σ. а – мат ожидание, – мат ожидание, - квадратическое отклонение нормального распределения.

При получим стандартное нормальное распределение. От произвольного перейти к стандартному можно с помощью преобразования .

От произвольного нормального распределения можно перейти к стандартному с помощью преобразования z=(x-a)/σ

Функция стандартного нормального распределения имеет вид.

Часто вместо приводится функция Лапласа

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:

.

Вычисление вероятности заданного отклонения от матожидания для нормальной случайной величины

Преобразуем данную формулу положив , получим

.

Если t=3, то

.

Правило трех сигм:

Если случайная величина распределена нормально, то с вероятностью, близкой к единице, абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.