2.2 Математика как форма теоретического знания, ее гносеологическая специфика. Особенности эпистемологического обоснования математического знания.

Точно датировать возникновение первых математических понятий —целого числа, величины, фигуры — невозможно. Когда возникла письменность, представление о них уже сложилось. Как наука математика возникла в Древней Греции- VI в. до н. э. — систематическое введение логических доказательств, явившееся переломным моментом в развитии математики.

С того времени и до начала XVII века математика преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах, изучаемые ею величины — длины, площади, объемы рассматриваются как постоянные. Областью применения математики являлись счёт, торговля, землемерные работы, архитектура, астрономия.

Развитие естествознания и математики в XVII в. выдвинуло перед наукой целый ряд гносеологических проблем: о переходе от единичных фактов к общим и необходимым положениям науки, о достоверности данных естественных наук и математики, о методе научного познания, позволяющем определять специфику математического знания, о природе математических понятий и аксиом, о попытке подвести логическое и гносеологическое объяснение математическому познанию и т.д. Все они в итоге сводятся к следующему: как из знания, обладающего относительной необходимостью, может следовать знание, обладающее абсолютной необходимостью и всеобщностью. В XVII и XVIII вв. потребности бурно развивавшегося естествознания и техники (мореплавания, астрономии, баллистики, гидравлики) привели к введению в математику идей движения и изменения, прежде всего в форме переменных величин и функциональных зависимостей. Это повлекло за собой создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления. В XVIII в. возникают и развиваются теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия. С XIX в. изменяется предмет математической науки. Достигнув более высокого уровня абстракции в математическом познании, ученые стали все большее значение придавать построению моделей новых понятий. Математика призвана заниматься не только идеей числа и величины; ученые-математики настойчиво стремятся найти единство в многообразии существующих методов. Это нашло свое отражение в разветвленной теории групп, ознаменовавшей собой колоссальный успех аксиоматического метода. Последний вошел в науку как способ, позволяющий строить научную теорию на основе некоторых положений, называемых аксиомами или постулатами, из которых путем доказательства выводятся остальные положения этой теории. Следует отметить, что роль этого метода значительно возросла после того, как Лобачевский доказал возможность построения геометрии на аксиомах, отличных от эвклидовых. С этого времени начинается новый этап развития науки: переход от аналитически замкнутых систем к синтетическим системам, центральной проблемой которых оказалась проблема развития. Принцип развития придавал научным исследованиям синтетический характер, а необходимость такого подхода вытекала из нового типа соотношения теории и практики. Отражением проблемы развития и явилась диалектическая тенденция в учении об интуиции Фихте и разработка проблемы непосредственного знания в философии Гегеля, во многом способствующая дальнейшему изучению диалектических проблем в философии. Практическое освоение результатов теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. Поэтому в XX в. численные методы математики выделяются в самостоятельную ветвь — вычислительную математику. Стремление упростить и ускорить решения ряда трудоёмких вычислительных задач привело к появлению вычислительных машин. Потребности самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы человеческой деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники привели к появлению целого ряда новых математических дисциплин: теория игр, теория информации, теория графов, дискретная математика, теория оптимального управления.

Математическое знание обладает специфической особенностью, которая заключается в том, что математика оперирует объектами особой природы. Это объясняется внутренними потребностями развития математической науки, абстрактно-логическим характером ее понятий. Исключительная степень абстракции, отвлеченность математических понятий позволяют математически описывать самые разнообразные процессы в природе и обществе. При этом математика, быть может, как ни одна другая наука, придает особое значение строгости логического доказательства своих положений и выводов. В современной математической науке уровень абстракции значительно возрастает, понятия, из которых она строится, образуются не только посредством отвлечения от объектов материального мира, но и путем обобщения и дальнейшей идеализации ранее возникших понятий.

Применительно к математике отличительными признаками всегда считались строгость, достоверность и непреложность получаемых результатов. Однажды доказанный результат мог быть обобщен, усовершенствован, даже частично пересмотрен, но никогда не отбрасывался как ложный. Собственно обосновательной деятельностью в этом плане считалась любая деятельность, направленная на объяснение причин или оснований упомянутых свойств математического познания. Среди различных объяснений такого рода в качестве главного объяснительного фактора всегда фигурировала ссылка на дедуктивный характер математических истин.

Сегодня, как никогда необходимо осознание того факта, что ни один исследователь различного рода сфер объективной реальности не сможет вести творческий научный поиск, если он не сможет использовать различные математические средства, новые компьютерные и информационные технологии, основанные на математических методах.

Действительно, определяя стиль мышления и обладая огромным эвристическим потенциалом, математика способствует правильной (корректной) постановке и научному анализу проблем, стимулирует ту сторону творчества, которая предполагает целенаправленное решение задач, вытекающих из логики естественноисторического процесса. Способствуя стратегическим оценкам приоритетов во множестве этих задач, математика обеспечивает экономию интеллектуальных ресурсов, избирательное вовлечение в процесс наиболее значимых, перспективных составляющих экономического развития общества.

Именно математика выявила такие возможности человека по теоретическому познанию и практическому преобразованию бытия, которые до сих пор определяют судьбу рода человеческого. Движение познания от простого к сложному, от единичного к общему в результате перехода от качественного анализа к количественному является объективной закономерностью развития науки. Взаимодействие, взаимосвязь конкретных наук с математикой в процессе математизации осуществляется в различных формах, различными путями и способами и основываются, прежде всего, на том, что каждая из наук, в том числе и математика, в отдельности обладают такой особенностью, которая отсутствует в другой. Математика исследует формы без анализа содержания, другие же науки — содержание, которое в данные формы воплощается.

Естественно, что применение математики неодинаково не только в разных областях знаний, но и на разных уровнях развития одной и той же науки. В тоже время существует известная закономерность в развитии процесса математизации любой науки, другими словами возможно выделение основных этапов, к которым сводится всё многообразие путей и форм проникновения в неё математики. Назовём эти этапы:

количественная обработка эмпирических данных; модельный этап;

построение математической теории исследуемого объекта.

Рассмотрение указанных этапов, на наш взгляд позволит более правильно осмыслить процесс математизации, его сущность, а главное — уяснить методоло­гическую значимость математики в современном познании.

Первый этап берёт начало с древних времён (измерение земельных участков, различных объектов, времени и т. д.). Роль математики в данной форме применения сводится в основном к описанию периодичности взаимодействия явлений, которые наблюдает исследователь.

Как известно, появление любой науки, изучающей объекты действительности, предшествует период накопления фактов об этих объектах. Их количественная обработка способствует логическому упорядочению, классификации и систематизации, что представляет собой начало данной науки и ведёт к созданию специального языка: системы понятий и отношений, связей между ними, которые служат для познания сущности изучаемых объектов (описательная теория).

Наиболее простым и распространённым способом фиксации и упорядочения эмпирических данных является определение характеристик изучаемых объектов и на их основе составления таблиц и графиков. В свою очередь, анализ таблиц и графиков может привести к мысли выразить существующую зависимость между полученными данными с помощью какой-нибудь формулы. Графики и формулы обеспечивают наглядность, чёткость и убедительность при изложении сведений в форме описательной теории. Тем самым математика «расчищает место» для применения своих методов и теорий в будущем, ибо оформление знаний, выражение его в символической форме способствует выведению более глубоких связей между ними, усиленно абстрактного (и в то же время более конкретного) характера данной отрасли знания.

Математизация знаний являясь основным путём перехода науки на новый теоретический уровень является наиболее перспективным путём совершенствования понятийного аппарата современной науки, обеспечивающего методологическое и категориальное регулирование выработки и оперирования знаниями в данной системе понятий.

Остановимся чуть более подробно на взглядах на природу математического знания И. Канта, который завершает разработку эпистемологического аспекта формирования единого математического комплекса XVI – XVII вв. Речь идет о том, что Кант находит для «алгебры» и «геометрии» единое (трансцендентальное) эпистемологическое основание, и находит его в области чувственности. Возможность геометрии «выводится» из априорной формы чувственности — пространства, а в основании арифметики лежит другая априорная форма чувственности — время.

Обратим внимание на три принципиальных момента, проясняющих суть кантовского переосмысления природы математического знания. Во-первых, Кант существенно снижает «внутренний» статус математического знания, помещая ее на «шкале» познавательных способностей даже ниже (теоретической) «физики», которая работает на уровне рассудка. В этом смысле математика оказывается даже более эмпиричной, чем надстраивающаяся над чувственно-математическом базисом теоретико-рассудочное естествознание и занимает самый низший эпистемологический статус теоретического знания. (Заметим, что согласно Канту математика по степени своей априорности (абстрактности, теоретичности) значительно уступает «физике», что не согласуется с общепринятым сейчас положением о большей абстрактности математического знания по отношению к другим наукам и свидетельствует о значительной модификации кантовской парадигмы математики в настоящее время).

Во-вторых, хотя это не столь очевидно и требует некоторых оговорок, базисом объединения математики выступает уже не более интеллигибельная «алгебра», как это было у Декарта, а чувственноподобная «геометрия». Основаниями (историческими) для совершенной Кантом (в концептуальном — эпистемологическом — плане) «геометризации» математики служат: во-первых, как это не парадоксально звучит с учетом совершенной Декартом алгебраизации геометрии, общая метафизическая концепция Декарта — введение им (геометризированной!) «субстанции протяженной» (что указывает на специфику нововременной алгебраизации математики, если ее рассматривать не с внутриматематической, а с внешней — общефилософской — точки зрения); во-вторых, ньютоновская концепция абсолютного пространства и времени (ср. кантовскими априорными созерцаниями), которые представляет собой как бы субстанциональный фон (последующего) «телесного» мира. Суть же нововременной, завершенной Кантом, концептуальной — в отличие от внутриматематической алгебраизации — «геометризации» математики заключается в том, что время, по аналогии с пространством, рассматривается как (априорное чувственное) созерцание, т.е. как некоторая «статическая» — а-ля-пространственнная — данность, или как некоторая объемлющая вещи «среда» (= аналог ньютоновского абсолютного пространства), из которой исключается существенный для природы времени «динамический» — «событийный» — аспект. Обобщая, это можно назвать феноменом (нововременного) опространствливания времени, что в последующем, с одной стороны, послужило концептуальной базой для последующей специальной теории относительности (А. Эйнштейн), в рамках которой время рассматривается просто как одно из (а-ля-пространственных!) «измерений», а, с другой стороны, вызвало резкую критику такого рассудочно-статического рассмотрения времени у А. Бергсона.

В-третьих, это противоположная первым двум тенденция повышения «метафизического» статуса математики, составляющая суть кантовского «коперниканского переворота», концепция априорности пространства (и времени), что отчасти возрождает античное понимание статуса математического знания. При более детальном сопоставлении античной (пифагоро-платона-аристотелевской) и кантовской концепции математики (числа) можно выделить следующее. Во-первых, как это уже отмечалось выше в первом замечании, Кант исключает категории пространства и времени из числа рассудочных категорий (соответственно, математику из области «ума», развивая концепцию Прокла), хотя против этого, особенно по поводу категории времени, есть весьма веские основания. Дело в том, что в основе построения (рассудочной) категориальной сетки Канта лежит анализ суждений («все действия рассудка мы можем свести к суждениям», а «понятия же относятся к как предикаты возможных суждений», то «…все функции рассудка можно найти, если полностью показать функции единства в суждениях», и Кант выделяет такую характеристику суждений как (алетическую) модальность. Алетические модальности же, как это известно было уже в античности (анализ высказываний о будущих событиях Аристотеля, построения Диодора) тесно связаны с категорией времени: «возможность» можно соотнести с «будущим», а «необходимость» — с настоящим. Поэтому вполне возможно рассматривать «время», не как априорную форму чувственности, а как своеобразную рассудочную категорию^[10]. Во-вторых, обратной стороной такого понижения эпистемологического статуса математики является существенное переосмысление базового концепта математики — понятия числа. Кант тесно увязывает категории «числа» и «времени» через понятие «числового ряда». В этом смысле Кант рассматривает не число как таковое, а «числовой ряд», основывающийся на априорном созерцании времени. Это можно трактовать как исключение из античного числа как единства предела и беспредельного первой — собственно «метафизической» — составляющей.

Таким образом, концепция математического априоризма Канта представляет собой промежуточный вариант — между сверх-априоризмом античности и эмпиризмом Нового времени — понимания природы и статуса математического знания.