26. Оценка параметров по выборке. Понятие несмещённости, состоятельности и эффективности оценки

Оценкой параметра называется любая функция от значе­ний выборки , т.е. статистика. Оценка является несмещённой, если Если для любого то оценка называется состоятельной. Оценкой качества несмещенной оценки является ее диспер­сия. Несмещенная оценка называется эффективной, если ее дисперсия является наименьшей среди дисперсий всех возможных оценок параметра , вычисленных по одному и тому же объему выбор­ки п. Оценки называются точечными, так как они оценивают одно численное значение параметра (точку). Точечная оценка параметра дает лишь некоторое при­ближенное значение . Чтобы получить представление о точно­сти и надежности оценки, используют интервальную оценку параметра.

Интервальной оценкой параметра называется интервал (α, β), который с заданной вероятностью γ накрывает неизвест­ное значение параметра . Такой интервал (α, β) называется доверительным интерва­лом, а вероятность γ — доверительной вероятностью, или уровнем надежности. Обычно доверительный интервал симметричен относительно оценки , тогда он определяется фор­мулой и имеет вид т.е. неравенства выполняется с вероятностью γ. Наибольшее отклонение Δ выборочного значения параметра от его истинного значения называется предельной ошибкой вы­борки.

27. Основные характеристики генеральной и выборочной совокупностей

Пусть генеральная совокупность имеет распределение

			….
			….

-частоты. -объём генеральной совокупности.

-объём выборки. Генеральная средняя . Выборочная средняя . . Генеральная дисперсия , . Выборочная дисперсия . Генеральная доля (отношение числа объекта e совокупности , обладающей данным признаком к числу всех объектов) - . Выборочная доля - .

28. Связь между характеристиками генеральной и выборочной совокупностей.

Рассмотрим повторную выборку значений гене­ральной совокупности X. При этом случайные величины будут независимыми. Пусть MX= α, DX = δ² ге­неральные средняя и дисперсия совокупности. В качестве оце­нок для α и δ рассмотрим среднюю арифметическую выборки и выборочную дисперсию .

Выясним свойства этих оценок: . Значит, является несмещённой оценкой для α. Т.к. по закону больших чисел при , то оценка является состоятельной. Можно доказать, что оценка является также эффективной, причём . Математическое ожидание выборочной дисперсии равно . Таким образом, оценка является смещённой. На практи­ке, чтобы избавиться от этого недостатка, для оценки неизвест­ной дисперсии генеральной совокупности пользуются исправ­ленной несмещенной оценкой . Тем не менее, из закона больших чисел следует, что как оцен­ка , так и являются состоятельными оценками для .Дисперсия , где N -- объем генеральной совокупности. Дисперсия в случае повторной выборки равна , а в случае бесповторной выборки , где .