19. Нормальное распределение. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Правило 3-х сигм

Нормальным (распределением Гаусса) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью.

Нормальное распределение определятся 2 параметрами . а – мат ожидание, - квадратическое отклонение нормального распределения.

Введем новую переменную ,

Тогда Первое слагаемое – нечетная функция, второе равно a. M(x)=a Учитывая это

При получим стандартное нормальное распределение.

От произвольного перейти к стандартному можно с помощью преобразования .

Функция стандартного нормального распределения имеет вид.

Часто вместо Ф(x) приводится функция Лапласа (нечетная) F(x)=

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.

По формуле Лапласа имеем

Вычисление вероятности заданного отклонения от МО для нормальной случайной величины.

Преобразуем данную формулу положив . Получим

Если t=3, то

Т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения равна 0.9973.

Сущность правила трех сигм: Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического ожидания

20. Функции случайных величин

Если x - случайная величина с областью значений X_x и функция f(x) определена на множестве X_x , то h = f(x) - тоже случайная величина. Задача об отыскании функции распределения случайной величины h по известной функции распределения случайной величины x легко решается, если f(x) - непрерывная монотонно возрастающая функция. Доказано, что тогда функция распределения Fh (x) случайной величины h задается формулой Fh (x)=F_x ([f(x)]^-1).

Здесь F_x (x) - известная функция распределения случайной величины x , а символом [f(x)]^-1 обозначена функция, обратная к функции f(x).

Плотность распределения случайной величины h для дифференцируемой f(x) вычисляется по формуле

.

Плотность вероятности суммы двух случайных величин В теории вероятностей часто возникает необходимость в определении плотности вероятности суммы двух независимых случайных величин. Если x ₁ и x ₂ - непрерывные независимые случайные величины с плотностями вероятности соответственно p₁(x) и p₂(x), то плотность вероятностей суммы h = x ₁ + x ₂ вычисляется по формуле:

.

21. Понятие системы случайных величин. Закон распределения двумерной случайной величины. Функция распределения двумерной случайной величины

Существуют сл\в, которые определяются двумя, тремя и т.д. числами. Такие сл\в называются двумерными, трехмерными и т.д. В зависимости от типа, входящих в систему сл\в, системы могут быть дискретными, непрерывными или смешанными, если в систему входят различные типы сл\в.

Рассм системы двух сл\в.

 Законом распределения системы сл\в называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы сл\в и вероятностями появления системы в этих областях. 

 Функцией распределения системы двух сл\в наз ф-я двух аргументов F(x, y), равная в-ти совместного выполнения двух неравенств X<x, Y<y.

Свойства функции распределения системы двух сл\в: 

1) Если один из аргументов стремится к плюс бесконечности, то ф-я распр системы стремится к ф-ии распр одной сл\в, соответствующей другому аргументу.

 2) Если оба аргумента стремятся  к бесконечности, то ф-я распр системы стремится к 1.

 3) При стремлении одного или обоих аргументов к минус бесконечности ф-я распр стремится к 0.

 4) Ф-я распр является неубывающей функцией по каждому аргументу.

5) В-ть попадания случайной точки (X, Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле:

Распределение одной сл\в, входящей в систему, найденное при условии, что другая сл\в приняла определенное значение, называется условным законом распределения.