- •1. События и их классификация. Классическое определение вероятности
- •2. Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, правило умножения и правило сложения
- •3. Действия над событиями. Соотношения между событиями
- •4. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
- •5. Теорема сложения вероятностей совместных событий.
- •6. Частота события и ее свойства. Статистическое определение вероятности.
- •7. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы 1 события
- •8. Формула полной вероятности. Формулы Байеса
- •9. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления события
- •10. Повторные независимые испытания. Формула Пуассона
- •11. Повторные независимые испытания. Локальная и интегральная теорема Лапласа
- •12. Понятие случайной величины и ее функции распределения. Свойства функции распределения
- •13. Дискретные случайные величины. Числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, начальные и центральные моменты, асимметрия и эксцесс)
- •14. Биномиальный закон распределения
- •15. Распределение Пуассона
- •16. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения. Числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение)
- •17. Равномерное распределение. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
- •18. Показательное распределение. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
- •Характеристики
- •19. Нормальное распределение. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Правило 3-х сигм
- •20. Функции случайных величин
- •21. Понятие системы случайных величин. Закон распределения двумерной случайной величины. Функция распределения двумерной случайной величины
- •22. Понятие о законе больших чисел. Неравенства Маркова и Чебышева
- •23. Теоремы Чебышева и Бернулли. Центральная предельная теорема
- •24. Цепи Маркова. Применение Марковских цепей в экономике
- •25. Выборочный метод. Основные понятия. Полигон и распределения. Эмпирическая функция распределения.
- •26. Оценка параметров по выборке. Понятие несмещённости, состоятельности и эффективности оценки
- •27. Основные характеристики генеральной и выборочной совокупностей
- •28. Связь между характеристиками генеральной и выборочной совокупностей.
- •29. Точечные и интервальные оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал.
- •30. Доверительный интервал для оценки мат.Ожидания нормального распределения
- •31. Понятие корреляционной зависимости. Корреляционная таблица. Линейная корреляция
- •32. Метод наименьших квадратов для определения параметров линейной регрессии
- •33. Статистическая гипотеза. Основные понятия
- •34. Уровень значимости и мощность критерия. Этапы проверки стат.Гипотезы
- •Этапы проверки статистических гипотез
- •35. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции
- •36.Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона
- •37. Основные понятия дисперсионного анализа
3. Действия над событиями. Соотношения между событиями
Дадим определения действиям над событиями:
1. Если при появлении события А происходит и событие B, то говорят, что событие А влечет за собой событие В и обозначают А B.
2. Если А B, и В А, то говорят, что события А и В равновозможны и обозначают А=В.
3. Событие, состоящее в том, что появится, хотя бы одно из событий А или В называют суммой событий. А+В
4. Событие, состоящее в том, что события А и В появятся одновременно называют произведением событий А
5.Событие, состоящее в том, что А произойдет, а В не произойдет называется разностью А-В.
6.Событие, состоящее в том, что А произойдет, а не произойдет называется противоположным.
7.Событие называется достоверным, если оно с необходимостью (точно) происходит и обозначается Ω(омега).
8.Событие называется невозможным, если оно с необходимостью не происходит и обозначается Ø.
9.События А и называются противоположными, если их одновременное появление невозможно и в сумме они дают пространство элементарных событий. А * = Ø. А + =Ω.
10. События А и В называются несовместными если их одновременное появление невозможно. А * В= Ø.
11. События В1, ..., Вn образуют полную группу, если любые 2 из них одновременно появится не могут и в сумме они дают пространство элементарных событий.
Вi * Bj= Ø, i j.
B1+… Bn=Ω.
4. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
Теорема. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий
Доказательство. Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий и .
Пусть событию и благоприятствуют m1 элементарных исходов, а событию A2 – m2 исходов. Так как события A1 и A2 по условию теоремы несовместны, то событию A1+A2 благоприятствуют m1+m2 элементарных исходов из общего числа n исходов. Следовательно,
где — вероятность события A1; — вероятность события A2.
5. Теорема сложения вероятностей совместных событий.
если два события А и В - несовместные, то А + В - событие, состоящее в появлении одного из этих событии, безразлично какого.
Теорема сложения вероятностей Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.
Р(А)+Р(В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)
6. Частота события и ее свойства. Статистическое определение вероятности.
Стат вероятностью события А наз-ся относительная частота появления этого события в n произведённых испытаниях P(A)=w(A)=m\n, где P(A)-стат вер соб А; w(A) – относительная частота соб А; m – число испытаний в кот появилось соб А; n – общее число испытаний.
Стат-ое определение вер-ти применимо к тем событиям с неопределённым исходом, кот обладают свойствами:
Расм-ые события д\б исходами только тех испытаний, кот м\б воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий. (появление войн, иск шедевров – бессмысленно)
События должны обладать стат-й устойчивостью, те в различных сериях испытаний относит частота события изменяется незначительно, колеблясь ок постоянного числа.
Число испытаний, в рез-те кот появл соб А д\б достаточно велико, тк только в этом случае можно считать вер соб А приближённо равной её частоте.
Свойства вер, вытекающие из классического определения сохраняются и при статистическом опр-ии вер-ти: 1) Вер-ть любого соб заключена между 0 и 1, 0≤P(A)≤1 2) Вер-ть достоверного соб =1; 3) Вер-ть невозможного соб =0.