33. Статистическая гипотеза. Основные понятия

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н₀.

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н₁, которая противоречит нулевой.

Гипотезы относ-но параметров распределения наз. параметрическими.

Гипотезы бывают простые и сложные.

Простая – гипотеза, содержащая только одно предположение.

Сложная – гипотеза, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Стат. критерием (значимости) наз. СВ X, кот. является ф-цией выборки K=К(х₁, х₂, х₃,…,х_n) (статистической) и служит для проверки гипотезы, с ее помощью принимается решение о принятии или отвержении гипотезы Н₀.

Критическая область – совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Область принятия гипотезы (область допустимых значений) – совок-ть значений критерия, при кот. гипотезу принимают.

34. Уровень значимости и мощность критерия. Этапы проверки стат.Гипотезы

Уровень значимости — это такое (достаточно малое) значение вероятности события, при котором событие уже можно считать неслучайным. Обозначают греческой буквой  (альфа).

Мощность критерия: — вероятность отклонить гипотезу  , если на самом деле верна альтернативная гипотеза  . Мощность критерия является числовой функцией от альтернативной гипотезы  .

Этапы проверки статистических гипотез

Пусть задана случайная выборка — последовательность объектов из множества . Предполагается, что на множестве существует некоторая неизвестная вероятностная мера  .

Методика состоит в следующем.

1. Формулируется нулевая гипотеза  о распределении вероятностей на множестве  . Чаще всего рассматриваются две гипотезы — основная или нулевая и альтернативная  . Иногда альтернатива не формулируется в явном виде; тогда предполагается, что  означает «не  »..

2. Задаётся некоторая статистика (функция выборки) , для которой в условиях справедливости гипотезы выводится функция распределения и/или плотность распределения  ..

3. Фиксируется уровень значимости — допустимая для данной задачи вероятность ошибки первого рода, то есть того, что гипотеза на самом деле верна, но будет отвергнута процедурой проверки. Это должно быть достаточно малое число . На практике часто полагают .

4. На множестве допустимых значений статистики  выделяется критическое множество  наименее вероятных значений статистики  , такое, что . Вычисление границ критического множества как функции от уровня значимости является строгой математической задачей, которая в большинстве практических случаев имеет готовое простое решение.

5. Собственно статистический тест (статистический критерий) заключается в проверке условия:

   • если, то делается вывод «данные противоречат нулевой гипотезе при уровне значимости  ». Гипотеза отвергается.

   • если , то делается вывод «данные не противоречат нулевой гипотезе при уровне значимости  ». Гипотеза принимается.

Итак, статистический критерий определяется статистикой  и критическим множеством  , которое зависит от уровня значимости .