10. Повторные независимые испытания. Формула Пуассона

При больших n применение формулы Бернулли затруднительно из-за сложности вычисления факториалов. В этом случае используются приближенные формулы для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие появится m раз.

Рассмотрим 2 случая:

1. P – конечно

2. P―›0 или P―›1

Теорема Пуассона.Если в схеме Бернулли a , так что np = a (т.е. конечно), то (a<=10).

Замечания.

1. a = np – среднее число появления события a в n испытаниях.

2. a<=10.

11. Повторные независимые испытания. Локальная и интегральная теорема Лапласа

Локальная предельная теорема Муавра-Лапласса. Если m , а p – конечное число из интервала (0,1), то для каждого c>0 и <c, где справедливо , где

- плотность нормального распределения.

Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласса. Если n , a p – конечное число из интервала (0,1), то равномерно по всем a и b справедливо

Замечания.

1. Функция Муавра-Лапласса нечетная, поэтому = -

2. Функция асимптотическая при z она быстро стремиться к 0.5.

(при z 5).

12. Понятие случайной величины и ее функции распределения. Свойства функции распределения

Случайная величина является функцией элементарного исхода. . Случайные величины бывают дискретные, непрерывные и другие. Для того, чтобы одинаковым способом характеризовать случайные величины различной природы вводится понятие функции распределения вероятности.

Опред. Вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее x называется функцией распределения вероятности.

Функция распределения вероятностей является неслучайной величиной, вычисленной на основании закона функции распределения.

Опред. Дискретной называется случайная величина, которая принимает конечное или счетное множество значений.

Пусть x_i – возможное значение случайной величины .

- вероятность этих значений.

Множество пар (x_i, p_i) называются законом распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Обычно закон распределения изображается в виде таблицы

	X1	X2	X3	X4	X5
P	P1	P2	P3	P4	P5

Для полной вероятностной характеристики случайной дискретной величины необходимо знать ее закон распределения.

Опред. Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать значения из некоторых промежутков.

Свойства функции распределения

1. , 0 , так как это вероятность.

2. F(x) –неубывающая функция.

Событие можно представить в виде суммы двух несовместных событий

Тогда ;

Следствия.

1. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал есть приращение функции распределения на этом интервале.

2. Вероятность принять одно фиксированное значение для непрерывной случайной величины равно 0. Пусть ;

3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в открытый или замкнутый промежуток одинакова.

Событие

4. F(x) непрерывна в точке слева в каждой точке

5.