22. Понятие о законе больших чисел. Неравенства Маркова и Чебышева

Суть закона больших чисел. Если число случайных величин неограниченно растет, то их среднее арифметическое утрачивает смысл случайной величины и стремится к постоянному числу равному среднему арифметическому их матожиданий.

Для теории вероятности большую роль играют вероятности, которые близки либо к 0, либо к 1. Особую роль при этом играют случайные величины, которые представляют собой сумму большого количества случайных величин.

Последовательность случайных величин ₁, ₂ и т.д. сходится к по вероятности, если для >0

Неравенство Чебышева Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине больше положительного числа , не больше чем, D(x)/ ²_.(дисперсия должна быть ограничена и )

Докажем, это неравенство для непрерывной случайной величины с плотностью вероятности P(X) Неравенство Чебышева часто используется для противоположного события

23. Теоремы Чебышева и Бернулли. Центральная предельная теорема

Если X₁, X₂,…,X_n – последовательность независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одним и тем же числом С, то для любого С>0 выполняется

Доказательство.Введем в рассмотрение случайную величину – среднее арифметическое случайных величин

Найдем матожидание

И дисперсию

Следовательно – дисперсия конечная. Тогда к применим неравенство Чебышева

Переходя к пределу получим

А так как вероятность не может быть больше 1, то предел равен 1.

Следствием теоремы Чебышева является теорема Бернулли.

Пусть - число появления события А в n испытаниях в схеме Бернулли, и p – вероятность появления А в одном испытании. Тогда для любого справедливо -частота появления события.

Пусть , где - число появления события А в i-ом испытании.

Дисперсия любой величины равна произведению pq, так как p+q=1, то p*q не превышает ¼, и следовательно дисперсии всех величин ограничены числом c=1/4

Применим теорему Чебышева

так как матожидание равно вероятности наступления события.

Так как равна относительной частоте появления события А (m/n)(каждая величина _{1, 2}, _n при появлении события в соответствующем испытании равна 1 и поэтому их суму равна m), то окончательно получим .

Пусть - последовательность независимых случайных величин. Обозначим через их сумму.

Говорят, что к последовательности применима центральная предельная теорема, если

По определению F(x)=P(

Суть ЦТП Если число случайных величин неограниченно растет, то их сумма стремится к нормальному распределению независимо от того как распределены слагаемые.

В природе все имеет нормальное распределение.

Частным случаем ЦПТ является интегральная теорема Муавра-Лапласса. Если в ней подставить , а вместо b=x, то

24. Цепи Маркова. Применение Марковских цепей в экономике

Теорема. Если сл\в Х примет только неотриц знач и имеет мат\ожидание, то для любого положительного числа А верно неравенство: . Доказательство для дискретной сл\в Х: Расположим значения дискр сл\в Х в порядке возрастания, из кот часть значений будет не больше числаА, а др часть будут больше А, т.е

Запишем выражение для м\о M(X): , где

- вер-ти т\ч сл\в Х примет значения . Отбрасывая первые k неотрицательных слагаемых получим: . Заменяя в этом неравенстве значения меньшим числом, получим неравенство: или . Сумма вер-тей в левой части представляет сумму вер-ей событий , т.е вер-ть соб Х>А. Поэтому . Т.к события и противоположные, то заменяя выражением , придём к др форме неравенства Маркова: . Неравенство Маркова применимо к любым неотрицательным сл\в.