- •1. Предмет теории вероятностей. Случайный эксперимент.
- •2. Классическое определение вероятности.
- •3. Геометрическое определение вероятности
- •4. Аксиоматическое определение вероятности
- •5. Условные вероятности
- •6. Независимые события
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли
- •9. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства
- •10. Дискретные случайные величины. Закон распределения дсв.
- •12. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятностей
- •13. Важнейшие непрерывные случайные величины
- •1 4. Математическое ожидание св.
- •15. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
- •16. Чх дискретных и непрерывных случайных величин
- •17. Случайные векторы. Фр случайного вектора и ее свойства.
- •18. Дискретные случайные векторы. Зр дискретного случайного вектора
- •19. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей и ее свойства
- •20. Пример. (Равномерное распределение в области ).
- •21. Независимость случайных величин
- •22. Условные законы распределения и условные числовые характеристики
- •23. Числовые характеристики случайных векторов
- •24. Теоремы о числовых характеристиках
- •25. Некоррелированность случайных величин и ее связь с независимостью
- •26. Коэффициент корреляции его свойства
- •27. Многомерное нормальное (гауссовское) распределение
- •28. Функции случайных аргументов
- •29. Композиция (свертка) законов распределения
- •30. Неравенство Чебышева
- •31. Законы больших чисел
- •32. Теорема 3 (збч для независимых, одинаково распределенных св).
- •33. Центральная предельная теорема
- •34. Теорема 2 (Ляпунова) (цпт для независимых, разнораспределенных св)
17. Случайные векторы. Фр случайного вектора и ее свойства.
Часто в вероятностных моделях случайных явлений приходится рассматривать сразу несколько СВ, причем изучение каждой СВ отдельно от других приводит к недопустимому упрощению модели. Математической моделью таких случайных явлений является понятие случайного вектора ( ).
Определение. Совокупность случайных величин , значения которых совместно описывают результат некоторого случайного явления, называется -мерным случайным вектором (многомерной СВ или системой СВ) и обозначается . При этом сами СВ , называют координатами (компонентами, составляющими) .
Исчерпывающей вероятностной характеристикой является его функция распределения (ФР). Рассмотрим случай двумерного случайного вектора , полученные результаты обобщим на случай многомерный. Двумерный обычно обозначают .
О пределение. ФР называется функция двух действительных переменных и , определяемая при каждом равенством:
. (3.1)
ФР называют также двумерной ФР или совместной ФР СВ и .
Геометрически ФР представляет собой вероятность попадания случайной точки в квадрант с вершиной в точке .
Свойства двумерной ФР.
1. для любых . (свойство очевидно, так как ФР - вероятность).
2. является неубывающей функцией по каждому из своих аргументов.
▲ Когда один из аргументов или фиксирован, доказательство свойства 2 полностью аналогично одномерному случаю.
3. является непрерывной слева функцией по каждому из своих аргументов.
4. ; .
▲ В силу свойства 4 вероятности
;
;
.
.
5. , где и - функции распределения координат и соответственно.
В соответствии со свойствами вероятности имеем:
;
.
6. Вероятность попадания случайного вектора в прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, определяется по формуле:
Обозначим ; ; ; .
Очевидно, что . При этом события и являются несовместными, а . Поэтому по теореме сложения вероятностей получаем:
.
Остается теперь учесть, что , , , .
Аналогичными являются определение и свойства многомерной ФР.
Определение. Функция действительных переменных, определяемая для любого равенством , называется функцией распределения случайного вектора или многомерной ( -мерной) ФР или совместной ФР СВ .
Свойства многомерной ФР.
1. для любых .
2. является неубывающей функцией по каждому из своих аргументов.
3. является непрерывной слева функцией по каждому из своих аргументов.
4. , если хотя бы один из аргументов . .
5. (Свойство согласованности). По ФР можно получить ФР любой совокупности из его координат. Для этого следует в ФР положить аргументы для .
18. Дискретные случайные векторы. Зр дискретного случайного вектора
Определение. называется дискретным (ДСВ), если множество его возможных значений конечно или счетно: или , где .
Из определения следует, что является дискретным тогда и только тогда, когда все его координаты , являются ДСВ.
Рассмотрим более подробно случай двумерного , принимающего конечное число значений. Для полной вероятностной характеристики такого достаточно указать все его возможные значения и вероятности , с которыми эти значения принимаются, (предполагается, что СВ принимает значений, а СВ принимает значений, так что у вектора возможных значений ).
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
которую называют законом распределения (ЗР)
При этом, поскольку события , , образуют полную группу событий, то вероятности удовлетворяют условию нормировки: .
По двумерному закону распределения вероятность попадания дискретного случайного вектора в любую область определяется по формуле: .
В частности, когда , получается следующее выражение для функции распределения : . (одномерный ).
График ФР является кусочно-постоянным со скачками в точках , являющихся его возможными значениями, величина скачков определяется .
Одномерные ЗР каждой из СВ и в отдельности являются дискретными и находятся по двумерному ЗР следующим образом:
Так как событие , то в силу аддитивности вероятности
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Многомерный случай полностью аналогичен двумерному, только менее нагляден и имеет громоздкую индексацию. Так, ЗР определяется набором вероятностей , где - значения координаты , , .