- •1. Предмет теории вероятностей. Случайный эксперимент.
- •2. Классическое определение вероятности.
- •3. Геометрическое определение вероятности
- •4. Аксиоматическое определение вероятности
- •5. Условные вероятности
- •6. Независимые события
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли
- •9. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства
- •10. Дискретные случайные величины. Закон распределения дсв.
- •12. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятностей
- •13. Важнейшие непрерывные случайные величины
- •1 4. Математическое ожидание св.
- •15. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
- •16. Чх дискретных и непрерывных случайных величин
- •17. Случайные векторы. Фр случайного вектора и ее свойства.
- •18. Дискретные случайные векторы. Зр дискретного случайного вектора
- •19. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей и ее свойства
- •20. Пример. (Равномерное распределение в области ).
- •21. Независимость случайных величин
- •22. Условные законы распределения и условные числовые характеристики
- •23. Числовые характеристики случайных векторов
- •24. Теоремы о числовых характеристиках
- •25. Некоррелированность случайных величин и ее связь с независимостью
- •26. Коэффициент корреляции его свойства
- •27. Многомерное нормальное (гауссовское) распределение
- •28. Функции случайных аргументов
- •29. Композиция (свертка) законов распределения
- •30. Неравенство Чебышева
- •31. Законы больших чисел
- •32. Теорема 3 (збч для независимых, одинаково распределенных св).
- •33. Центральная предельная теорема
- •34. Теорема 2 (Ляпунова) (цпт для независимых, разнораспределенных св)
27. Многомерное нормальное (гауссовское) распределение
Нормальное распределение в одномерном случае задается ПВ вида:
, причем параметры ,
Определение. Говорят, что имеет многомерное нормальное (гауссовское) распределение, если его ПВ имеет вид:
, (3.19)
где - математическое ожидание ; - корреляционная матрица ; - определитель корреляционной матрицы (предполагается, что ); – алгебраическое дополнение к элементу матрицы (так, что - элемент матрицы, обратной к ).
для многомерной нормальной ПВ в векторной форме: ,
где верхний индекс «Т» означает знак транспонирования.
Из выражения (3.19) для ПВ видно, что нормальный закон распределения полностью определяется моментами первых двух порядков: математическими ожиданиями , дисперсиями и корреляционными моментами .
Если и его координаты являются попарно некоррелированными СВ, то есть , то корреляционная матрица и обратная к ней являются диагональными , .
Поэтому из (3.19) следует, что
, где - ПВ одномерного нормального распределения с параметрами . Но это означает независимость СВ .
Таким образом, для нормально распределенных СВ понятия независимости и некоррелированности совпадают (эквивалентны).
Другие замечательные свойства многомерного нормального распределения. :
Все координаты имеют одномерные нормальные распределения:
Все условные ЗР являются нормальными
Если координаты являются независимыми СВ, то любая их линейная комбинация также является нормальной СВ:
Рассмотрим подробнее случай . Пусть - , у которого . В этом случае корреляционная матрица имеет вид: , а определитель корреляционной матрицы .
Поэтому ПВ двумерного нормального имеет вид:
.
Д ля двумерного нормального используется краткая запись: (зависит от пяти параметров). График двумерной ПВ имеет вид:
Линиями уровня являются эллипсы:
Найдем одномерные ПВ и координат .
,
то есть .
Аналогично, , то есть .
Таким образом, у двумерного нормального одномерные законы распределения всегда являются нормальными.
Найдем условные ЗР, если .
Из полученного вида условной ПВ следует, что она является ПВ нормального ЗР с параметрами и .
Полностью аналогично получаем, что условная ПВ
является ПВ нормального ЗР с параметрами
и .
Таким образом, если - двумерный нормальный , то условные математические ожидания и являются линейными функциями условия (или, другими словами, в нормальном случае уравнения регрессии являются линейными), а условные дисперсии и являются постоянными величинами.
28. Функции случайных аргументов
Пусть - , ЗР которого известен, и - неслучайная функция, область определения которой содержит множество возможных значений вектора . Рассмотрим СВ . Известно, что для нахождения числовых характеристик СВ достаточно знать только ЗР . Однако, во многих приложениях, особенно в математической статистике, необходимо уметь находить в явном виде ЗР СВ Y, являющейся функцией случайных аргументов. Рассмотрим вначале задачу нахождения ЗР СВ Y в одномерном случае ( ).
Функции от случайных величин
Дискретный случай. Пусть – ДСВ, принимающая значения с вероятностями . Тогда для произвольной неслучайной функции , область определения которой содержит множество возможных значений СВ , СВ является дискретной и задача состоит в нахождении ее ЗР.
а ) Предположим вначале, что все значения различны. Тогда случайная величина будет иметь столько же возможных значений , как и случайная величина , с и при этом
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, ЗР СВ имеет вид: где в соответствии с
(4.1) вероятность .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, (4.2)
ЗР СВ в данном случае имеет вид:
где в соответствии с (4.2) вероятности являются суммой вероятностей тех значений , для которых . , .
Непрерывный случай. Если – НСВ с ПВ , а – дифференцируемая функция в области возможных значений случайной величины Х. Тогда величина является непрерывной СВ и задача состоит в нахождение ПВ .
Предположим вначале, что - монотонно возрастающая функция в области возможных значений СВ Х. Тогда у функции существует однозначная обратная функция и ФР СВ можно записать в виде: .
Дифференцируя обе части полученного равенства по , получаем:
. (4.3)
Для монотонно убывающей в области возможных значений СВ Х функции
,
а после дифференцирования по обеих частей этого равенства
. (4.4)
Объединяя полученные в (4.3) и (4.4) результаты, получаем:
Если – НСВ с ПВ , а – монотонная дифференцируемая функция, то СВ является непрерывной и ее ПВ определяется через по формуле:
, (4.5) где – функция, обратная к функции .
Е сли дифференцируемая функция не является монотонной в области возможных значений случайной величины , то ее область определения можно разбить на непересекающихся интервалов, на каждом из которых она монотонной будет и будет иметь однозначную обратную функцию . Применяя формулу (4.5) на каждом интервале монотонности, получаем:
. (4.6)
Функции от случайных векторов
Пусть – двумерный СВ с заданным ЗР и СВ , где – неслучайная скалярная функция двух переменных, область определения которой содержит множество возможных значений вектора . Рассмотрим задачу нахождения ЗР СВ .
Пусть –ДСВ, принимающий конечное число значений с вероятностями , . Тогда – ДСВ и ее возможными значениями , являются различные среди значений ( может быть). При этом вероятности значений аналогично одномерному случаю определяются по формуле:
, . (4.8) Если – НСВ с ПВ , то является НСВ, если функция дифференцируема по каждому из своих аргументов. При этом ФР СВ определяется формулой:
, (4.9) а ПВ находится дифференцированием по .