- •1. Предмет теории вероятностей. Случайный эксперимент.
- •2. Классическое определение вероятности.
- •3. Геометрическое определение вероятности
- •4. Аксиоматическое определение вероятности
- •5. Условные вероятности
- •6. Независимые события
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли
- •9. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства
- •10. Дискретные случайные величины. Закон распределения дсв.
- •12. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятностей
- •13. Важнейшие непрерывные случайные величины
- •1 4. Математическое ожидание св.
- •15. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
- •16. Чх дискретных и непрерывных случайных величин
- •17. Случайные векторы. Фр случайного вектора и ее свойства.
- •18. Дискретные случайные векторы. Зр дискретного случайного вектора
- •19. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей и ее свойства
- •20. Пример. (Равномерное распределение в области ).
- •21. Независимость случайных величин
- •22. Условные законы распределения и условные числовые характеристики
- •23. Числовые характеристики случайных векторов
- •24. Теоремы о числовых характеристиках
- •25. Некоррелированность случайных величин и ее связь с независимостью
- •26. Коэффициент корреляции его свойства
- •27. Многомерное нормальное (гауссовское) распределение
- •28. Функции случайных аргументов
- •29. Композиция (свертка) законов распределения
- •30. Неравенство Чебышева
- •31. Законы больших чисел
- •32. Теорема 3 (збч для независимых, одинаково распределенных св).
- •33. Центральная предельная теорема
- •34. Теорема 2 (Ляпунова) (цпт для независимых, разнораспределенных св)
1 4. Математическое ожидание св.
Рассмотрим отдельно случай ДСВ и НСВ.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предположим, что над СВ произведено независимых наблюдений, в результате которых значение появилось раз, - раз,…, - раз ( ). Тогда среднее значение СВ (среднее арифметическое) по результатам наблюдений можно записать в виде: ,
где - статистическая вероятность (относительная частота) события . Известно, что при большом близка к истинной вероятности . Поэтому, если наблюдения над СВ не производятся, то за ее среднее значение целесообразно принять величину .
Определение. Математическим ожиданием ДСВ , принимающей значения с вероятностями , называется величина , (2.7)
если ряд в правой части абсолютно сходится: .
Если ряд в правой части абсолютно расходится, то говорят, что математического ожидания у ДСВ не существует.
Замечание. Естественно, что вопрос о сходимости ряда встает только в случае, когда множество возможных значений ДСВ бесконечно (но счетно). У ДСВ, принимающей конечное число значений, математическое ожидание существует всегда.
Пусть теперь - НСВ с ПВ . Для определения МО построим следующую ДСВ , аппроксимирующую НСВ .
Для некоторого рассмотрим точки вида на числовой прямой и положим
, если , .
СВ принимает значения с вероятностями
(при малом ), .
При любом и при ДСВ все точнее аппроксимирует НСВ . При этом
, если ряд сходится абсолютно. Последняя сумма является интегральной суммой для , который и следует считать МО НСВ .
Определение. Математическим ожиданием НСВ с плотностью вероятностей называется величина ,(2.8) если интеграл в правой части абсолютно сходится: .
Если интеграл в правой части абсолютно расходится, то говорят, что математического ожидания у НСВ не существует.
Замечание. Формулы (2.7) и (2.8) для МО ДСВ и НСВ можно объединить в одну, записав МО в виде
, где последний интеграл понимается в смысле Римана-Стилтьеса по ФР
3Механическая интерпретация МО. Если закон распределения интерпретировать как распределение единичной массы вдоль оси абсцисс, то МО – координата центра тяжести (центра масс).
Г еометрическая интерпретация МО. МО – среднее значение СВ, около которого группируются другие ее значения (иногда вместо МО СВ говорят среднее СВ ).
Свойства МО.
1. МО постоянной равно этой постоянной: .
2. Постоянная выносится за знак МО: .
3. МО суммы любых СВ и равно сумме их МО: . из свойств линейности рядов и интегралов ■.
4. Если , то и . Если и при этом , то . из определения МО для ДСВ и НСВ ■.
Следствие. Если , то . Достаточно применить свойство 4 к СВ ■.
5. Следует из того, что для любого . Поэтому в силу свойства 4 МО , то есть