- •1. Предмет теории вероятностей. Случайный эксперимент.
- •2. Классическое определение вероятности.
- •3. Геометрическое определение вероятности
- •4. Аксиоматическое определение вероятности
- •5. Условные вероятности
- •6. Независимые события
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли
- •9. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства
- •10. Дискретные случайные величины. Закон распределения дсв.
- •12. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятностей
- •13. Важнейшие непрерывные случайные величины
- •1 4. Математическое ожидание св.
- •15. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
- •16. Чх дискретных и непрерывных случайных величин
- •17. Случайные векторы. Фр случайного вектора и ее свойства.
- •18. Дискретные случайные векторы. Зр дискретного случайного вектора
- •19. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей и ее свойства
- •20. Пример. (Равномерное распределение в области ).
- •21. Независимость случайных величин
- •22. Условные законы распределения и условные числовые характеристики
- •23. Числовые характеристики случайных векторов
- •24. Теоремы о числовых характеристиках
- •25. Некоррелированность случайных величин и ее связь с независимостью
- •26. Коэффициент корреляции его свойства
- •27. Многомерное нормальное (гауссовское) распределение
- •28. Функции случайных аргументов
- •29. Композиция (свертка) законов распределения
- •30. Неравенство Чебышева
- •31. Законы больших чисел
- •32. Теорема 3 (збч для независимых, одинаково распределенных св).
- •33. Центральная предельная теорема
- •34. Теорема 2 (Ляпунова) (цпт для независимых, разнораспределенных св)
2. Классическое определение вероятности.
На самом деле это не определение, а метод вычисления вероятностей событий во вполне определенных и сильно ограниченных условиях.
Говорят, что случайный эксперимент удовлетворяет классическому определению вероятности (или классической вероятностной схеме), если:
пространство элементарных событий состоит из конечного числа исходов ;
из соображений симметрии можно считать, что все элементарные исходы эксперимента являются равновозможными (т. е. ни один из исходов не имеет предпочтения перед другими).
Согласно классическому определению вероятности вероятность любого события , равна отношению числа исходов , благоприятствующих событию , к общему числу исходов :
Свойства вероятности, непосредственно вытекающие из классического определения вероятности:
1°. для любого события А (доказательство очевидно).
2°. (доказательство очевидно).
3°. Если события и несовместны , то .
▲ Пусть событию А благоприятствует исходов, а событию В - исходов. Поскольку события А и В являются несовместными (т.е. не имеют общих исходов), то сумме благоприятствует исходов. Поэтому .■
Исходя из свойств 1 3 (и только!!!) вытекают также следующие свойства вероятности:
4°. . Поскольку события образуют полную группу событий ( ), то из свойств 2° и 3° .■
5°. .Следует из свойств 2° и 4°, поскольку события .■
6°. . Представим событие В в виде: . Поскольку события являются несовместными, то из свойств 1° и 3° имеем: .■
7°. .Следует из свойств 2°, 5° и 6°, так как (в частности, свойство 7° означает, что измерять вероятность в процентах некорректно).
понятия комбинаторики.
Размещением из N элементов некоторого множества по M элементов называется любой упорядоченный набор из M элементов данного множества. Число всех размещений равно .
Если в упорядоченном наборе элементы могут повторяться, то этот набор называется размещением с повторениями. Число размещений с повторениями: равно .
Перестановкой из N элементов некоторого множества называется размещение из N элементов по N. Число всех перестановок равно .
Сочетанием из N элементов некоторого множества по M элементов называется любое подмножество мощности M. Число всех сочетаний равно .
Пример 2 (Урновая схема).
В урне находится N шаров, из которых M белые. Из урны наугад извлекается n шаров. Какова вероятность того, что среди выбранных шаров окажется ровно m белых.
Решение. Исходами в данном эксперименте являются любые подмножества, содержащие n шаров, и они являются равновозможными (за счет слова «наугад»). Число всех исходов равно числу сочетаний из N по n: . Каждый набор шаров, входящий в интересующее нас событие, состоит из m белых шаров, которые можно выбрать из M белых способами. Независимо от выбора белых шаров, небелые шары можно выбрать способами. Поэтому общее число благоприятных исходов равно . Из этого следует, что .
3. Геометрическое определение вероятности
Геометрическое определение вероятности является обобщением классического определения вероятности на случай, когда множество равновозможных исходов бесконечно.
Говорят, что случайный эксперимент удовлетворяет геометрическому определению вероятности, если:
исходы эксперимента можно изобразить точками некоторой области , имеющей конечную меру ;
можно считать, что попадание точки в любые области , имеющие одинаковую конечную меру , равновозможно и не зависит от формы и расположения внутри . При этом говорят, что точка равномерно распределена в области или бросается в область наудачу.
Согласно геометрическому определению вероятности вероятность попадания точки в любую область (событие ) пропорциональна ее мере и равна: .
В частности:
п ри под мерой понимается длина подмножества на прямой и ;
при под мерой понимается площадь подмножества на плоскости и ;
при под мерой понимается объем подмножества на пространстве и .
Из геометрического определения вероятности вытекают следующие свойства вероятности.
Следовательно, справедливы и свойства вероятности 4° – 7°, доказательство которых в классическом определении вероятности, основывалось только на свойствах 1° – 3°.
Пример.
На обслуживающее устройство в промежутке времени равновозможно поступление двух заявок. Время обслуживания одной заявки равно . Если очередная заявка поступает в момент занятости устройства обслуживанием предыдущей, то она теряется. Найти вероятность потери заявки.
Решение. Обозначим t1, t2 моменты поступления заявок. Тогда Интересующее нас событие А имеет вид: . Поэтому (см. рисунок) . |
|