4. Аксиоматическое определение вероятности
Свойства 1° – 3°, установленные в классическом, геометрическом и статистическом определениях вероятности, в аксиоматическом определении принимаются в качестве системы аксиом (только свойство 3° формулируется в более общем виде).
Определение. Пусть
- произвольное пространство элементарных
событий. Вероятностью называется
числовая функция
,
определенная на подмножествах
(случайных событиях), удовлетворяющая
следующим аксиомам:
1°. Аксиома неотрицательности:
.
2°. Аксиома нормированности:
.
3°. Аксиома счетной аддитивности:
,
для любой последовательности событий
,
являющихся попарно несовместными
.
3*. Аксиома конечной аддитивности:
Проверка аксиомы счетной аддитивности 3° на практике бывает весьма затруднительна. Для этого полезным является следующее утверждение.
Теорема (без доказательства). Аксиома счетной аддитивности 3° эквивалентна аксиоме конечной аддитивности 3* и следующей аксиоме непрерывности:
4°. Аксиома непрерывности. Если
события
обладают свойствами:
;
2)
,
(при этом говорят, что события образуют
убывающую последовательность событий),
то
.
Из аксиоматического определения вероятности вытекают следующие свойства вероятности.
4°.
.
5°.
.
6°.
.
7°. .
8°. Теорема сложения вероятностей.
Для любых событий А и В (не
обязательно несовместных)
.
▲ Представим событие В в виде:
.
Поскольку события
являются несовместными, то по аксиоме
аддитивности 3°
.
(1)
Представим событие
в виде:
.
Поскольку события
являются несовместными, то по аксиоме
3°
.
(2)
Вычитая из равенства (2) равенство (1),
получаем
.
■
Задача. Доказать, что для любых трех событий А, В и С
.
Доказать общую формулу:
.
9°. Если события
образуют полную группу событий, то
.
Свойство следует из определения полной
группы событий и аксиом 2° и 3°. ■
10°.
.
Представим событие А в виде:
.
Поскольку события
являются несовместными, то по аксиоме
аддитивности 3°
.
■
5. Условные вероятности
На практике случайные события обычно
взаимосвязаны. Информация о наступлении
одного из событий может влиять на шансы
наступления другого. Пусть
- конечное пространство равновозможных
исходов, А и В – некоторые
события. Если о событии В ничего
неизвестно, то согласно классическому
определению вероятности:
.
Если же известно, что событие В уже
произошло (т. е. наступил исход
,
но какой именно – неизвестно), то для
определения вероятности события А
следует выбрать новое пространство
элементарных событий
.
В этом случае событию А благоприятствуют
исходы
и новая вероятность, которую обозначим
оказывается равна:
.
Полученная вероятность называется условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло и полученное для нее выражение в рамках классической схемы принимается за определение условной вероятности и в общем случае.
Определение. Пусть А и В
некоторые случайные события,
.
Условной вероятностью события А
при условии, что событие В
произошло, называется величина
.
Для условной вероятности
применяется также обозначение
.
Условная вероятность , как функция события А при фиксированном событии В (условии), удовлетворяет аксиомам 1° – 3° и, следовательно, всем свойствам вероятности, вытекающим из аксиом:
.
(Действительно,
).
(Действительно,
,
поскольку события
являются несовместными).
Аналогично вводится понятие условной
вероятности события В при
условии, что событие А
произошло:
в предположении, что
.
Если
и
,
то из определения условных вероятностей
и
получаем следующее правило умножения
вероятностей:
.
На случай любого конечного числа событий правило умножения вероятностей обобщается следующим образом.
Теорема (умножения вероятностей).
Пусть
некоторые события,
для которых
.
Тогда
.
▲ В соответствии с правилом умножения
вероятностей
.
■