- •1. Предмет теории вероятностей. Случайный эксперимент.
- •2. Классическое определение вероятности.
- •3. Геометрическое определение вероятности
- •4. Аксиоматическое определение вероятности
- •5. Условные вероятности
- •6. Независимые события
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли
- •9. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства
- •10. Дискретные случайные величины. Закон распределения дсв.
- •12. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятностей
- •13. Важнейшие непрерывные случайные величины
- •1 4. Математическое ожидание св.
- •15. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
- •16. Чх дискретных и непрерывных случайных величин
- •17. Случайные векторы. Фр случайного вектора и ее свойства.
- •18. Дискретные случайные векторы. Зр дискретного случайного вектора
- •19. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей и ее свойства
- •20. Пример. (Равномерное распределение в области ).
- •21. Независимость случайных величин
- •22. Условные законы распределения и условные числовые характеристики
- •23. Числовые характеристики случайных векторов
- •24. Теоремы о числовых характеристиках
- •25. Некоррелированность случайных величин и ее связь с независимостью
- •26. Коэффициент корреляции его свойства
- •27. Многомерное нормальное (гауссовское) распределение
- •28. Функции случайных аргументов
- •29. Композиция (свертка) законов распределения
- •30. Неравенство Чебышева
- •31. Законы больших чисел
- •32. Теорема 3 (збч для независимых, одинаково распределенных св).
- •33. Центральная предельная теорема
- •34. Теорема 2 (Ляпунова) (цпт для независимых, разнораспределенных св)
12. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятностей
Определение. СВ называется непрерывной или имеющей непрерывный закон распределения (НСВ), если существует такая функция , что для любого ФР СВ допускает представление: .(2.3)При этом функция называется плотностью вероятностей СВ .
Замечание. Для существования интеграла (2.3) предполагается, что ПВ является функцией непрерывна всюду, за исключением, может быть, конечного числа точек.
Из определения следует:
1. Если СВ является непрерывной, то ее ФР непрерывна на всей числовой прямой.
Следствие. Если СВ является непрерывной, то для любого . (2.4)
2. Если СВ является непрерывной, то ее ФР является дифференцируемой во всех точках, где ПВ непрерывна, и при этом справедливо равенство . (2.5)
(Также следует из свойств интеграла с переменным верхним пределом).
В точках, где ПВ непрерывной не является, производная ФР не существует. Это означает, что в этих точках ФР , являясь функцией непрерывной, имеет излом, так что . Но таких точек в соответствии с замечанием не более конечного числа и в них ПВ может быть задана произвольно (на величине интеграла (2.3) и на вероятностях событий, связанных с НСВ, в соответствии с (2.4) это никак не отражается). Графическая иллюстрация.
Из равенства (2.5) и определения производной следует, что
.
Интерпретируя вероятность как массу, приходящуюся на интервал , отношение представляет собой среднюю плотность массы на этом интервале, а в пределе при получаем плотность массы в точке х. Это оправдывает использование термина «плотность» для функции . Формулы (2.3) и (2.5) показывают, что между ФР и ПВ существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому по аналогии с дискретным случаем ПВ можно называть ЗР НСВ.
Свойства плотности вероятностей.
1. для любого . Поскольку ФР является функцией неубывающей, то ее производная . Поэтому свойство следует из равенства (2.5) ■.
2. - условие нормировки. Из представления (2.3) следует, что , а в соответствии со свойством 3 ФР ■.
3. Вероятность попадания НСВ в интервал определяется как интеграл от ПВ по этому интервалу: для любых . (2.6)
П оскольку в соответствии со свойством 5 ФР , то свойство непосредственно вытекает из представления (2.3): ■.
Следствие. Для непрерывной СВ
и все вероятности определяются с помощью интеграла (2.6).
Графическая иллюстрация ФР и ПВ НСВ.
13. Важнейшие непрерывные случайные величины
1. Равномерная СВ. Говорят, что НСВ имеет равномерное распределение (равномерный ЗР) на отрезке , если множество ее возможных значений , а ПВ постоянна на этом отрезке: Константа С при этом однозначно определяется из условия нормировки: , то есть . Таким образом, равномерно распределенная СВ имеет ПВ: и для нее используется сокращенная запись: .
Н айдем ФР СВ . Для этого рассмотрим три случая:
а) если , то ;
б ) если ,то ;
в) если , то .
Окончательно имеем: Графики ПВ и ФР СВ имеют вид:
2. Показательная (экспоненциальная) СВ. Говорят, что НСВ имеет показательное распределение (показательный, экспоненциальный ЗР), если множество ее возможных значений , а ПВ имеет вид: - параметр показательного распределения. Сокращенная запись для показательной СВ: .
Проверим условие нормировки. при любом .
Н айдем ФР СВ .
Для этого рассмотрим два случая:
а) если , то ;
б) если , то .
Окончательно имеем: Графики ПВ и ФР СВ имеют вид:
3. Нормальная (гауссовская) СВ.
Говорят, что НСВ имеет нормальное распределение (нормальный, гауссовский ЗР) с параметрами , если множество ее возможных значений , а ПВ имеет вид:
. Сокращенная запись:
Кривая ПВ СВ имеет симметричный вид относительно прямой и имеет максимум в точке .
Проверим условие нормировки:
для любых значений параметров а и (при этом был использован известный в анализе факт, что - интеграл Пуассона).
Е сли параметр фиксирован, то при изменении а кривая , не изменяя своей формы, просто смещается вдоль оси абсцисс. Изменение при фиксированном а равносильно изменению масштаба кривой по обеим осям: при увеличении ПВ становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; при уменьшении - вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков (эффект действия условия нормировки). Таким образом, параметр является параметром масштаба. Также параметр характеризует степень разброса значений СВ около среднего значения а: при уменьшении значения СВ более плотно группируются около а, то есть степень разброса значений СВ около среднего значения а меньше.
Если и , то нормальный ЗР называется стандартным, его ПВ имеет вид:
и называется функцией Гаусса. ФР СВ имеет вид: и не выражается в элементарных функциях. Функцию называют функцией Лапласа (или интегралом вероятностей).
Свойства функции Лапласа :
1. ; 2. для . Значения функции Лапласа для табулированы.
ФР СВ также выражается через функцию Лапласа :
.
Вероятность попадания СВ в заданный интервал определяется по формуле:
.
Наиболее просто выражается через функцию Лапласа вероятность попадания СВ в интервал длины , симметричный относительно точки .
.
Д алее, если положить и учесть, что , то получаем:
.
Полученный результат носит название «Правило трех сигма». Он означает, что «практически все» значения СВ находятся внутри интервала в том смысле, что вероятность СВ принять значение, не принадлежащее этому интервалу, пренебрежимо мала ( ).
4. СВ, имеющая распределение Коши.
Говорят, что НСВ имеет ЗР Коши, если множество ее возможных значений , а ПВ имеет вид: . ФР СВ, распределенной по закону Коши, имеет вид: .
Графики ПВ и ФР СВ, распределенной по закону Коши, выглядят следующим образом: