1.11.4. Поле заряженной сферической поверхности

Дана равномерно заряженная по поверхности сфера, радиус которой R, а поверхностная плотность заряда .

Д ля определения величины напряженности электрического поля в некоторой точке "А", находящейся на расстоянии r₁>R, воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса. С этой целью вокруг заданной сферы построим некоторую замкнутую сферическую поверхность радиусом r₁, равным расстоянию от рассматриваемой точки поля до центра сферы (рис. 1.16).

Линии вектора напряженности электрического поля в этом случае перпендикулярны поверхности заданной сферы, направлены по радиальным прямым.

Поток вектора напряженности электрического поля через построенную поверхность

. (1.66)

Заряд, находящийся внутри построенной поверхности,

. (1.67)

На основании теоремы Остроградского-Гаусса имеем

.

Откуда напряженность электрического поля в точке "A"

. (1.68)

Из выражения (1.68) можно сделать выводы:

а) в точке "C" (r₁ = R)

; (1.69)

б) в точке "B" (r₁ = r₂<R)

E = 0. (1.70)

Таким образом, внутри сферической поверхности поле отсутствует. Вне сферы на любом расстоянии r от центра сферы

, (1.71)

где , т.е. оно такое же, как и поле точечного заряда, помещенного в центр сферы.

График зависимости напряженности электрического поля от расстояния до центра сферы представлен на рис. 1.17.

Разность потенциалов между двумя точками поля в этом случае

, (1.72)

где - напряженность элект-рического поля в точке на расстоянии rR от центра сферы.

Таким образом,

. (1.73)

Если принять r₁ = r и r₂ = , то потенциал поля вне сферической поверхности

, (1.74)

что совпадает с соотношением для потенциала поля точечного заряда.

В нутри сферической поверхности потенциал всюду одинаков:

. (1.75)

График зависимости потенциала от расстояния до центра сферы ( = f(r)) представлен на рис. 1.18.

1.11.5. Поле объёмно заряженного шара

Д ан равномерно заряженный по объёму шар, радиус которого R. Объёмная плотность заряда (при равномерном распределении заряда) . Линии вектора напряженности электрического поля в этом случае направлены по радиальным прямым, перпендикулярно поверхности шара.

Рассчитаем напряженность электрического поля в точке "А", находящейся на расстоянии r>R (рис. 1.19).

Построив замкнутую сферическую поверхность с радиусом r, для потока вектора напряженности электрического поля имеем

.

Заряд, находящийся внутри построенной поверхности,

.

Имеем

. (1.76)

Из уравнения (1.75) получим

, (1.77)

где  - объемная плотность заряда;

R – радиус шара;

r – расстояние от рассматриваемой точки поля до центра шара.

Из формулы (1.77) можно сделать выводы:

а) при r = R

; (1.78)

б ) при r<R

; (1.79)

в) при r = 0

E = 0. (1.80)

График зависимости напряжен-ности электрического поля от расстояния до центра шара представлен на рис. 1.20.

Для решения задачи по определению разности потенциалов между двумя точками такого поля воспользуемся уравнением

,

где - напряженность поля в точке, расположенной на расстоянии r от центра сферы.

Следовательно, для разности потенциалов будем иметь

. (1.81)

Если принять r₂ =  и r₁ = r , то потенциал поля, порождаемого шаром в точке, на расстоянии r от его центра

. (1.82)

Потенциал на поверхности шара (r = R)

. (1.83)

Потенциал внутри шара (r<R)

. (1.84)