1.6. Работа электрического поля по перемещению электрического заряда. Циркуляция вектора напряженности электрического поля

Е сли в электростатическом поле точечного заряда q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд q_o (рис. 1.11), то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы F на элементарном перемещении dl равна

(1.22)

где dr = dlcos.

Работа при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2

, (1.23)

где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц измерения физических величин. В системе СИ k = 1/4₀;

q₁ – заряд, создающий электрическое поле;

q₂ – заряд, перемещаемый в электрическом поле;

r₁, r₂ – начальное и конечное расстояния между зарядами.

Из формулы (1.23) видно, что работа сил электрического поля по перемещению электрического заряда не зависит от траектории перемещения, а определяется только начальным и конечным положением зарядов. Следовательно, электростатическое поле электрических зарядов является потенциальным, а электростатические силы – консервативными силами.

Кроме того, из формулы (1.23) следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т.е.

. (1.24)

Если в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взять положительный единичный точечный заряд, то элементарная работа сил поля на пути dl равна dA = Edl = E_ldl, где E_l = Ecos - проекция вектора E на направление элементарного перемещения. Тогда формулу (1.24) можно записать в виде

. (1.25)

Интеграл

(1.26)

называют циркуляцией вектора напряженности электростатического поля. Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура (1.25) равна нулю. Равенство нулю циркуляции вектора напряженности электростатического поля еще раз подтверждает, что оно является потенциальным. Из потенциальности электростатического поля следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми – они начинаются и заканчиваются на зарядах или же уходят в бесконечность.

Надо отметить, что формула (1.25) справедлива лишь только для электростатического поля. Для электрических полей движущихся зарядов условие равенства нулю циркуляции вектора напряженности не выполняется. Для таких полей она отлична от нуля.

1.7. Энергия электрического заряда в электрическом поле

При перемещении электрического заряда под действием сил электрического поля происходит изменение его первоначального положения, что влечет за собой изменение потенциальной энергии системы. Поэтому можно утверждать, что работа сил электрического поля совершается за счет изменения (уменьшения) потенциальной энергии:

A = W₁ - W₂ = W. (1.27)

Формула (1.27) определяет изменение потенциальной энергии, а не её величину. Следовательно, можно условно выбрать такое положение электрического заряда, при котором потенциальная энергия системы равна нулю. Принято считать потенциальную энергию системы зарядов, равной нулю, в том случае, когда один из них удален от другого на бесконечность, т.е., например, W₂ = W = 0. Тогда W₁ = A.

Таким образом, потенциальная энергия заряда, находящегося в электрическом поле другого заряда (потенциальная энергия двух электрических зарядов, системы из двух электрических зарядов), измеряется (численно равна) работой, которую совершают силы электрического поля по удалению одного из зарядов из данной точки поля в бесконечность.

Так как

(1.28)

и при r₂, W₂0, в предельном случае при r₂ = , W₂ = 0, то

. (1.29)

Формула (1.29) определяет потенциальную энергию заряда, находящегося в электрическом поле другого заряда (потенциальную энергию двух электрических зарядов, системы из двух электрических зарядов).

Так как положение зарядов было выбрано произвольно, то в общем случае потенциальная энергия заряда, находящегося в электрическом поле другого заряда (потенциальная энергия двух электрических зарядов, системы из двух электрических зарядов) определяется так:

, (1.30)

где r – расстояние между центрами взаимодействующих зарядов или до рассматриваемой точки поля, в которую помещается электрический заряд.