- •131018.51 « Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений»
- •Аннотация
- •Введение
- •Раздел 1. Дифференциальное и интегральное исчисление.
- •Тема 1.1: «Вычисление производных функций».
- •Теоретический материал.
- •Правила дифференцирования:
- •Примеры вычисления производных.
- •Тема 1.2: «Нахождение углового коэффициэнта касательной к графику функции в указанной точке. Составление уравнения касательной.»
- •Теоретический материал:
- •Геометрический смысл производной функции в точке.
- •Составление уравнения касательной прямой
- •Тема 1.3: «Вычисление производных сложных функций».
- •Теоретический материал:
- •Примеры вычисления производных сложных функций.
- •Тема 1.4:«Вычисление производных высших порядков функции нескольких переменных».
- •Теоретический материал: Производные высшего порядка.
- •Тема 1.5:«Нахождение табличных интегралов. Вычисление интегралов с использованием их свойств и таблицы интегралов».
- •Теоретический материал:
- •Тема 1.6: «Применение формулы Ньютона-Лейбница, свойства определенного интеграла при вычислениях. Методы интегрирования по частям и подстановкой».
- •Теоретический материал: Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.
- •Формула интегрирования по частям:
- •Определенный интеграл
- •Примеры вычисления
- •Тема 1.7: «Геометрический смысл определенного интеграла. Вычисление площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла»
- •Теоретический материал:
- •Тема 1.8: " Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными первого порядка "
- •Теоретический материал:
- •Примеры вычисления
- •Тема 1.9: "Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами"
- •Теоретический материал:
- •Алгоритм решения
- •Примеры вычисления
- •Тема 1.10: «Нахождение решения дифференциальных уравнений Бернулли».
- •Теоретический материал:
- •Примеры вычисления.
- •Раздел 2. Числовые ряды
- •Тема 2.1: «Вычисление членов числового ряда. Вычисление частичных сумм».
- •Теоретический материал:
- •Примеры вычисления
- •Задание для практической работы по теме «Вычисление членов числового ряда. Вычисление частичных сумм».
- •Тема 2.2: «Применение необходимого и достаточного признаков сходимости числовых рядов и признака Даламбера»
- •Теоретический материал:
- •Примеры вычисления
- •Тема 2.3: «Выделение знакоположительного, знакочередующегося и степенного ряда. Разложение элементарных функций по формуле Тейлора».
- •Теоретический материал:
- •Примеры вычислений
- •Понятие функционального ряда
- •Примеры вычислений
- •Разложение элементарных функций в ряд Маклорена
- •Раздел 3. ОСновы дискретной математики.
- •Тема 3.1: «Выполнение операций над множествами».
- •Тема 3.2: «определение основных характеристик графа».
- •Теоретический материал:
- •Раздел 4. Численное дифференцирование и интегрирование.
- •Теоретический материал
- •Теоретический материал:
- •Примеры вычислений
- •Тема 4.3: "Приближенное вычисление значения функции y(X) в точке с помощью производной".
- •Теоретический материал:
- •Пример вычисления
- •Тема 4.4: "Вычисление интегралов по формулам прямоугольников".
- •Теоретический материал:
- •Пример вычисления
- •Тема 4.5: " Вычисление интегралов по формулам трапеций ".
- •Теоретический материал:
- •Список литературы
Задание для практической работы по теме «Вычисление членов числового ряда. Вычисление частичных сумм».
Записать ряд по его заданному общему члену. Вычислить S4 для заданного числового ряда.
Вариант 1.
Вариант 2.
Вариант 3.
Вариант 4.
Вариант 5.
Вариант 6.
Вариант 7.
Вариант 8.
Вариант 9.
Вариант 10.
Практическая работа № 12
Тема 2.2: «Применение необходимого и достаточного признаков сходимости числовых рядов и признака Даламбера»
Цель: Применять необходимый и достаточный признак сходимости числовых рядов и признак Даламбера.
Теоретический материал:
Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда стремится к пределу , то ряд называется сходящимся, а число - суммой сходящегося ряда, т.е.
и .
Эта запись равносильна записи
.
Если частичная сумма ряда (1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (стремится к или ), то такой ряд называется расходящимся. Если ряд сходящийся, то значение при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S.
Разность называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. , и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.
Пример рядов.
Пример1. Ряд вида
(2)
называется геометрическим .
Геометрический ряд образован из членов геометрической прогрессии.
Известно, что сумма её первых n членов . Очевидно: это n-ая частичная сумма ряда (1.2).
Возможны случаи:
:
.
Ряд (1.2) принимает вид:
,
, ряд расходится;
Ряд (1.2) принимает вид:
,
не имеет предела, ряд расходится.
,
- конечное число, ряд сходится.
,
- ряд расходится.
Итак, данный ряд сходится при и расходится при .
Пример 2. Ряд вида
(1.3)
называется гармоническим.
Запишем частичную сумму этого ряда:
.
Сумма больше суммы, представленной следующим образом:
или .
Если , то , или .
Следовательно, если , то , т.е. гармонический ряд расходится.
Пример 3. Ряд вида
(1.4)
называется обобщенным гармоническим.
Если , то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.
Если , то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При имеем геометрический ряд, в котором ; он является сходящимся.
Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .
Необходимый признак сходимости ряда
Ряд может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера стремится к нулю: .
Если , то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда.
Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.
Признак сравнения рядов с положительными членами. Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого, заведомо расходящегося ряда.
Признак Даламбера. Если для ряда с положительными членами
выполняется условие , то ряд сходится при и расходится при .
Признак Даламбера не дает ответа, если . В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.