Примеры вычисления

Пример 1. Вычислить  dx/(x+2).

Решение. Обозначим t=x+2, тогда dx=dt,  dx/(x+2) =  dt/t = lnt+C = = lnx+2+C.

Пример 2. Найти  tg x dx.

Решение.  tg x dx =  sin x/cos x dx = -  d(cos x)/ cos x. Пусть t=cos x, тогда  tg x dx = -  dt/t = - lnt+C = - lncos x+C.

Пример 3. Найти  dx/sin x.

Решение.

Пример 4. Найти .

Решение.  =  

Пример 5. Найти  arctg x dx.

Решение. Обозначим u=arctg x, dv=dx. Тогда du = dx/(x²+1), v=x, откуда  arctg x dx = x arctg x -  x dx/(x²+1) = x arctg x + 1/2 ln(x²+1) +C; так как  x dx/(x²+1) = 1/2  d(x²+1)/(x²+1) = 1/2 ln(x²+1) +C.

Пример 6. Вычислить  ln x dx.

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим: u=ln x, dv=dx, du= 1/x dx, v=x. Тогда  ln x dx = x lnx -  x 1/x dx = = x lnx -  dx = x lnx - x + C.

Пример 7. Вычислить  e^x sin x dx.

Решение. Обозначим u = e^x, dv = sin x dx, тогда du = e^x dx, v= sin x dx= - cos x   e^x sin x dx = - e^x cos x +  e^x cos x dx. Интеграл  e^x cos x dx также интегрируем по частям: u = e^x, dv = cos x dx  du=e^xdx, v=sin x. Имеем:  e^x cos x dx = e^x sin x -  e^x sin x dx. Получили соотношение  e^x sin x dx = - e^x cos x + e^x sin x -  e^x sin x dx, откуда 2  e^x sin x dx = - e^x cos x + e^x sin x + С.

Пример 8. Вычислить J =  cos(ln x)dx/x.

Решение. Так как dx/x = d(ln x), то J=  cos(ln x)d(ln x). Заменяя ln x через t, приходим к табличному интегралу J =  cos t dt = sin t + C = sin(ln x) + C.

Пример 9. Вычислить J = .

Решение. Учитывая, что  = d(ln x), производим подстановку ln x = t. Тогда J = .

Пример 10. Вычислить интеграл J = .

Решение. Имеем: . Поэтому = = = .

Задание для практической работы по теме «Применение формулы Ньютона-Лейбница, свойств определенного интеграла при вычислениях. Методы интегрирования по частям и подстановкой».

Вариант 1	Вариант 2
Найти интегралы	Найти интегралы
Вариант 3	Вариант 4
Найти интегралы	Найти интегралы
Вариант 5	Вариант 6
Найти интегралы	Найти интегралы
Вариант 7	Вариант 8
Найти интегралы	Найти интегралы

Практическая работа № 7.

Тема 1.7: «Геометрический смысл определенного интеграла. Вычисление площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла»

Цель: Применять формулу Ньютона-Лейбница для вычисление площади плоской фигур .

Теоретический материал:

Геометрическая интерпретация: определенный интеграл  представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y= f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox.

Задание для практической работы по теме «Геометрический смысл определенного интеграла. Вычисление площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла»

Вариант 1	Вариант 2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2-2x-3; x=3; x=4; y=0. Y=x^2+4x+5, y=5 Y=sinx, y= .	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2+5x+4; x=-1; x=0; y=0. Y=x^2+4x+4, y=1. Y=ctgx, y=tgx,y=0 на отрезке .
Вариант 3	Вариант 4
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2-4x+3; x=3; x=5; y=0. Y=x^2-4x, y=x. Y= , x=2,x=4,y=0.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2+2x-3; x=1; x=2; y=0. Y=x^2, y=x-2. х^2+y^2=16,y=2, y= .
Вариант 5	Вариант 6
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2-4; x=2; x=3; y=0. Y=-x^2+x+6, y=-2x+6. Y=x^2-4x+4,y=4-x^2	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2-x-2; x=2; x=3; y=0. Y=-x^2+5x-4, y=2. Y=x^3, 3x+2y-6=0,y=0

Практическое занятие №8