Тема 1.3: «Вычисление производных сложных функций».

Цель: Научиться вычислять производные сложных функций.

Теоретический материал:

Если y = f(u), u = (x), т.е. y = f((x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций  и f, то

, или ;

Примеры вычисления производных сложных функций.

Пример 1. Найти производную сложной функции y= ,u=x⁴ +1.

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим:

y'_x =y '_u u'_x =( )'_u(x⁴ +1)'_x =(2u + . Так как u=x⁴ +1, то

  y'_x=(2 x⁴ +2+ .

 Пример 2. Найти производную функции y= .

Решение. Представим функцию y= в виде суперпозиции двух функций: y = e^u и u = x². Имеем: y'_x =y '_u u'_x = (e^u)'_u(x²)'_x = e^u 2x. Подставляя x² вместо u, получим y=2x .

Пример 3. Найти производную функции y=ln sin x.

Решение. Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y=ln u вычисляется по формуле y' = (ln u)'_u(sin x)'_x= .

Пример 4. Найти производную функции y= .

Решение. Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила 5:

.

Задание для практической работы по теме «Вычисление производных сложных функций». Найти производные сложных функций:

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
Уровень А. 1. y=(x^2+1)^3 2. y=arcsin 2x Уровень В. 3. y=(2^5^x^+5)^3 4.	Уровень А. 1. y= 2. y=cos (x^2-6) Уровень В. 3. y= ln (1+9x)^3 4.	Уровень А. 1. y=lg10x 2. y= arcsin 3x Уровень В. 3. 4. y=arcos(cos lnx)
Вариант 4	Вариант 5	Вариант 6
Уровень А. 1. y=5^5^x 2. Уровень В. 3. y=arctg ln x^2 4.	Уровень А. 1. y=4^cosx 2. y=log2(5-x^3) Уровень В. 3. 4.	Уровень А. 1. y=4+4^4^x 2. Уровень В. 3. y=3^1/x 4.
Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9
Уровень А. 1. y=arctg(5-x) 2. y=2^sinx Уровень В. 3. y=log6(5x+8)^2 4.	Уровень А. 1. y=log34x 2.y=tg(x-3) Уровень В. 3. y=9^arcsin^5^x 4.	Уровень А. 1. y=cos (x^2-6) 2. y=(x^2+1)^3 Уровень В. 3. y=(2^5^x^+5)^3 4.

практическая работа № 4

Тема 1.4:«Вычисление производных высших порядков функции нескольких переменных».

Цель: Научиться вычислять производные высших порядков функции нескольких переменных

Теоретический материал: Производные высшего порядка.

Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную y = f (x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается: .

Аналогично определяются и обозначаются:

производная третьего порядка - ,

производная четвертого порядка -

и вообще производная n-го порядка - .

Частной производной от функции по независимой переменной называется производная

, вычисленная при постоянном .

Частной производной по y называется производная , вычисленная при постоянном . Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Пример 1 .

Рассматривая как постоянную величину , получим .

Рассматривая как постоянную величину , получим .

Пример 2

; ;

; .

Полным приращением функции в точке называется разность , где и произвольные приращения аргументов. Функция называется дифференцируемой в точке , если в этой точке полное приращение можно представить в виде , где

Полным дифференциалом функции называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращений аргументов и , то есть

Полный дифференциал функции вычисляется по формуле

Для функции трех переменных .

Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Обозначения частных производных второго порядка:

; ;

; .

Смешанные производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны: .

Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от ее полного дифференциала, то есть . Если и  – независимые переменные и функция имеет непрерывные производные, то дифференциал второго порядка вычисляется по формуле .

Пример 3 . Найти , , .

Решение. Найдем частные производные: ; . Дифференцируя повторно, получим ;

; .

Задание для практической работы по теме «Производные и дифференциалы функции нескольких переменных».

Для функции z=f(x,y) найти _{, , .}

Вариант 1. z=x³-3xy² Вариант 6.  z=4x²-7xy³

Вариант 2. z=2x²-5xy³ Вариант 7. z= e^-x+2xy

Вариант 3. z=5x⁴-8xy Вариант 8. z=x^y

Вариант 4. z=6x²-xy³ Вариант 9.

Вариант 5. z=e^xy Вариант 10. z=x²-2xy³

Практическая работа № 5