Тема 1.2: «Нахождение углового коэффициэнта касательной к графику функции в указанной точке. Составление уравнения касательной.»

Цель: Составить уравнение касательной к графику функции в заданной точке.

Теоретический материал:

Углом наклона прямой y = kx+b называют угол , отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс до прямой y = kx+b в положительном направлении (то есть, против часовой стрелки). Угловым коэффициентом прямой y = kx+b называют числовой коэффициент k. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой, то есть, .

Угол наклона прямой равен нулю, когда прямая параллельна оси абсцисс. В этом случае нулю равен и угловой коэффициент, так как тангенс нуля есть ноль. Следовательно, уравнение прямой будет иметь вид y = b.

Когда угол наклона прямой y = kx+b является острым ( ), то угловой коэффициент k является положительным числом (так как тангенс острого угла принимает положительные значения ) и указывает на возрастание графика прямой.

В случае, когда прямая располагается перпендикулярно оси абсцисс (параллельно оси ординат) и задается равенством x = c, где c - некоторое действительное число.

Когда угол наклона прямой y = kx+b является тупым ( ), то угловой коэффициент k является отрицательным числом и указывает на убывание графика прямой.

Касательной к графику функции y = f(x) в точке называют прямую, проходящую через точку , с отрезком которой практически сливается график функции при значениях х сколь угодно близких к . Для этого покажем, что будет происходить с секущей АВ, если точку В бесконечно приближать к точке А.

Рисунок ниже иллюстрирует этот процесс.

Секущая АВ (показана синей пунктирной прямой) будет стремиться занять положение касательной прямой (показана синей сплошной линией), угол наклона секущей (показан красной прерывистой дугой) будет стремиться к углу наклона касательной (изображен красной сплошной дугой). Таким образом, касательная к графику функции y = f(x) в точке А – это предельное положение секущей AB при .

Геометрический смысл производной функции в точке.

Рассмотрим секущую АВ графика функции y = f(x) такую, что точки А и В имеют соответственно координаты и , где - приращение аргумента. Обозначим через приращение функции. Отметим все на чертеже:

Из прямоугольного треугольника АВС имеем . Так как по определению касательная – это предельное положение секущей, то . Вспомним определение производной функции в точке: производной функции y = f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , обозначается . Следовательно, , где - угловой коэффициент касательной. Таким образом, существование производной функции y = f(x) в точке эквивалентно существованию касательной к графику функции y = f(x) в точке касания , причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке , то есть

.

Составление уравнения касательной прямой

Для записи уравнения любой прямой на плоскости достаточно знать ее угловой коэффициент и точку, через которую она проходит. Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке имеет вид:

.

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x)

1. Обозначить буквой a абсциссу точки касания. 2. Найти f(a). 3. Найти f '(x) и f '(a). 4. Подставить найденные числа a, f(a), f '(a) в общее уравнение касательной y - f(a) = f '(a)(x – a).

Примеры составления уравнения касательной.

Пример 1. Составьте уравнение касательной в точке M(3; – 2) к графику функции .

Решение. Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как

1. a = 3 – абсцисса точки касания. 2. f(3) = – 2. 3. f '(x) = x² – 4, f '(3) = 5. y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение касательной.

Задание для практической работы по теме «Нахождение углового коэффициента касательной к графику функции в указанной точке. Составление уравнения касательной». Составить уравнения касательных к графикам функции в заданной точке с абсциссой а=2:

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4
Уровень А. Уровень А. Y=3x^3-x Уровень B Уровень B	Уровень А. Уровень А. Y=-x^3+x Уровень B Уровень B	Уровень А. Уровень А. Y=2x^2-8x Уровень B Уровень B	Уровень А. Уровень А. Y=-3x^2+12x Уровень B Уровень B
Вариант 5	Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8
Уровень А. Уровень А. Y=x^2+5x+4 Уровень B Уровень B	Уровень А. Уровень А. Y=-x^2+2x+15 Уровень B Уровень B	Уровень А. Уровень А. Y=1/3x^3-9 Уровень B Уровень B	Уровень А. Уровень А. Y=x^3-3x Уровень B Уровень B

Практическое Занятие №3